Smittespreiing og R-tal

Vi må dele talet på nye smitta på dei 4 som var smitta i første runde.

$$ \frac{10}{4}=2,5$$

Kvar smitta person smitta i gjennomsnitt 2,5 nye personar i løpet av den første veka. Ein annan måte å seie det på er at det er i gjennomsnitt 2,5 nye smitta per smitta person.

Hugs korleis vi bruker vekstfaktoren:

Ny verdi = gammal verdi · vekstfaktor

Vi reknar ut vekstfaktoren ved å ta ny verdi og dele på gammal verdi. Dette blir nøyaktig same reknestykke som i oppgåve a).

Vekstfaktoren for auken i talet på nye smitta er 2,5.

Vi har rekna ut R-talet i oppgåve a) (og b)). R-talet for denne utviklinga er 2,5.

At R-talet er større enn 1, betyr at vekstfaktoren for endringa i talet på nye smitta er større enn 1. Det betyr at kvar smitta person i gjennomsnitt smittar meir enn 1 ny person. Det betyr at det blir fleire nye smitta enn den førre runden, som igjen betyr at smitten aukar.

Vi har eigentleg gått ut frå at ein smitta person er smitteførande i ei veke. Etter det vil ikkje personen kunne smitte andre.

Her kan vi rekne med vekstfaktor på vanleg måte. For kvar veke aukar talet på nye smitta med ein faktor 2,5. Talet på nye smitta i løpet av den andre veka blir

$$ \text{10·2,5=25}$$

Alternativt kan vi ta utgangspunkt i dei 4 som var smitta først og multiplisere med vekstfaktoren 2 gonger sidan det går 2 veker.

$$ {\text{4·2,5·2,5=4·2,5}}^2=25$$

Det vil bli 25 nye smitta i løpet av den andre veka.

Vi reknar med vekstfaktor på vanleg måte, som betyr at for kvar veke aukar talet på nye smitta med ein faktor 2,5. Talet på nye smitta i løpet av den 5. veka blir

$$ {\text{4·2,5}}^5=391$$

Vi set opp ei likning der talet på nye smitta etter $$ x$$ veker er lik 10 000 og løyser oppgåva med CAS i GeoGebra.

$$ {\text{4·2,5}}^x=10 000$$

Etter den niande veka vil talet på nye smitta ha passert 10 000 dersom R-talet er 2,5.

Tiltaka vart i hovudsak gjennomført for at det ikkje skulle bli for mange smitta samtidig, noko som betyr at mange får behov for å bli innlagd på sjukehus samtidig, og sjukehuskapasiteten kan fort bli sprengd. I starten visste vi ikkje heller heilt sikkert kor farleg sjukdommen var.

Du kan lese meir om dette i artikkelen "Smittespreiing – modellar".

Ein reduksjon på 20 prosent betyr at vekstfaktoren for endring i R-talet er

$$ \text{1-}\frac{20}{100}=1-0,2=0,8$$

Det nye R-talet blir då

$$ \text{2,5·0,8=2,0}$$

Vi reknar ut vekstfaktoren for endringa, som er ny verdi delt på gammal verdi.

$$ \frac{1,5}{2,5}=0,6$$

Klarer du å sjå kva for ein prosentvis nedgang som gir ein vekstfaktor på 0,6? Vi kan rekne det ut ved å setje dette inn i formelen for vekstfaktor ved ein nedgang, og vi set $$ x$$ lik den ukjende prosenten vi skal finne.

$$ \begin{array}{rcl}1-\frac{x}{100} & =& 0,6\\ -\frac{x}{100} & =& 0,6-1\\ \frac{x}{100}·100 & =& 0,4·100\\ x & =& 40\\ & & \end{array}$$

Vi kan òg løyse likninga med CAS.

Ein nedgang i R-talet frå 2,5 til 1,5 gir ein vekstfaktor på 0,6, noko som svarer til 40 prosents nedgang. R-talet må reduserast med 40 prosent.

Sjølv om summen av prosenttala for tiltaka stenge ned skular og krav om munnbind er 40, gir desse tiltaka mindre enn 40 prosents reduksjon i R-talet. Vi kan forklare dette slik:

20 prosents reduksjon i R-talet for tiltaket stenge ned skular betyr at kvar smitta person i gjennomsnitt smittar 20 prosents færre andre personar. Ein ny 20 prosents reduksjon på grunn av tiltaket krav om munnbind gir ein ny 20 prosents reduksjon av eit allereie redusert R-tal. Dette gjeld i alle fall om tiltaka blir innførte med lang nok tid etter kvarandre, og som ei tilnærming seier vi at dette gjeld òg om tiltaka blir innførte samtidig.

Det betyr vidare at vi først får ein 20 prosents reduksjon for det eine tiltaket, for deretter å få ein ny 20 prosents reduksjon for det andre. Vekstfaktoren for 20 prosents reduksjon er 0,8. Total vekstfaktor for dei to endringane blir

$$ \text{0,8·0,8=0,64}$$

Ein (total) vekstfaktor på 0,64 svarer til ein (total) prosentvis nedgang på 36 prosent.

Tiltaket krav om kontinuerleg nedvasking gir 5 prosents reduksjon i R-talet, noko som betyr ein vekstfaktor på 0,95. Den totale vekstfaktoren for dei tre tiltaka blir

$$ \text{0,64·0,95=0,608}$$

Den totale vekstfaktoren kan maksimalt vere 0,6 for at det skal vere ein reduksjon på minst 40 prosent. Det vil seie at det berre nesten held med desse tre tiltaka.

Vekstfaktoren for tiltaket handhygiene blir 0,9. Den totale vekstfaktoren blir

$$ \text{0,64·0,9=0,576}$$

Den totale vekstfaktoren er mindre enn 0,6, og då er reduksjonen i R-talet større enn 40 prosent.

Her skal vi finne ut kor mange prosent 0,3 er av 1,25.

$$ \frac{0,3}{1,25}=0,24=24 \%$$

Reduksjonen i R-talet må vere på minst 24 prosent.

Vi må i alle fall velje minst to tiltak. Først prøver vi om det held med tiltak der summen av prosenttala er 25.

Vi kan kombinere prosenttal på 10 og 15 eller prosenttal på 10, 5 og 10 for at summen av prosenttala skal bli 25. Vi ser at ingen av desse kombinasjonane av tiltak gir stor nok reduksjon i R-talet. Då må vi velje tiltak der summen av prosenttala er 30.

Vi kan kombinere prosenttal på 10 og 20 eller prosenttal på 10, 15 og 5 for at summen av prosenttala skal bli 30. Begge desse tiltaka gir meir enn 24 prosents reduksjon i R-talet, men det er kombinasjonen av tiltak med prosenttala 10, 15 og 5 som kjem nærast kravet om 24 prosents reduksjon.

Vi byrjar med å finne det nye R-talet, som er lik kor mange personar i gjennomsnitt kvar smitta person klarer å smitte.

R-talet $$ \text{=}\frac{21}{36}=0,583$$

Vi må finne ut kor mange prosent R-talet har endra seg. Vi finn først vekstfaktoren for endringa, som er nytt R-tal delt på gammalt R-tal.

$$ \frac{0,583}{1}=0,583$$

Legg merke til at sidan det opphavlege R-talet var 1, vart vekstfaktoren for endringa i R-tal lik det nye R-talet.

Så må vi finne ut kor mange prosent denne vekstfaktoren svarer til.

$$ \begin{array}{rcl}1-\frac{x}{100} & =& 0,583\\ -\frac{x}{100} & =& 0,583-1\\ \frac{x}{100}·100 & =& 0,417·100\\ x & =& 41,7\\ & & \end{array}$$

Ein vekstfaktor på 0,583 betyr at R-talet søkk med 41,7 prosent. Så mykje må R-talet søkke for at kravet til styresmaktene skal oppfyllast.

Dei tre tiltaka som gir lågast reduksjon i R-talet, har sum prosenttal $$ 15+5+20=40$$. Det vil i alle fall ikkje vere nok til å oppfylle kravet om 41,7 prosents reduksjon. Vi må altså velje anten portforbod eller lockdown. Med lockdown kjem vi langt over det som er kravd, så vi satsar først på kombinasjonen portforbod (vekstfaktor 0,6) og stenge kollektivtransport (vekstfaktor 0,95). Den totale vekstfaktoren blir

$$ \text{0,6·0,95=0,57}$$

Dette svarer til ein reduksjon i R-talet på

$$ $ 1-0,57=0,43=43 \%$$$

Då har vi fått ein reduksjon i R-talet som er litt større enn kravet. Andre kombinasjonar av tiltak vil gi større reduksjon (og kanskje meir misnøye i befolkninga).