Likningar. Likningar løyst ved rekning

Kjenner du igjen denne typen oppgåver frå barneskulen?

Då du fann ut kva tal som skulle stå i den tomme ruta, løyste du eigentleg ei likning. Du fann ut kva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likskapsteiknet.

Dei enklaste likningane er såkalla lineære likningar. I lineære likningar har vi aldri potensar av $x$, som til dømes $x^2$. Vi har heller ikkje $x$ i nemnaren på ein brøk.

Eit døme på ei lineær likning er

$2+x=5$

Å løyse ei likning går ut på å finne ut kva verdi $$ x$$ må ha for at uttrykka på kvar side av likskapsteiknet skal vere like. Det er altså det same som du gjorde då du fann ut kva tal som skulle stå i den tomme ruta i oppgåvene ovanfor.

I den lineære likninga over kan vi sjå at om vi byter ut $x$ med talet 3, blir uttrykka på kvar side av likskapsteiknet like.

$\begin{array}{rcl}2+x& = & 5\\ & & \\ 2+3& =& 5\\ & & \\ 5& =& 5\end{array}$

Då står talet 5 på begge sider av likskapsteiknet.

I dei fleste likningar er det ikkje så lett å sjå noko som tal $x$ må vere.
Sjå til dømes på likninga

$2x+3=x+7$

Vi baserer løysinga av slike likningar på det at vi kan "tukle" med likninga så lenge vi gjer det same på begge sider av likninga. Om vi til dømes legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet, har uttrykka på kvar side framleis lik verdi.
Hugs at $x$ står for eit tal.

Vi trekkjer frå talet 3 på begge sider av likskapsteiknet:

$2x+3-3=x+7-3$

$3-3$ er lik null og kan fjernast frå venstresida.
$7-3$ på høgresida kan erstattast med talet 4.

Likninga blir no

$2x=x+4$

Vi trekkjer så frå talet $x$ på begge sider av likskapsteiknet:

$2x-x=x-x+4$

På høgresida er $x-x$ lik null og kan fjernast. På venstresida kan $2x-x$ blir erstatta med $x$. Likninga blir no

$x=4$

Då har vi jo funne ut kva $x$ må vere, og vi har løyst likninga.

Vi kan sjekke om løysinga er riktig. Då byter vi ut $x$ med talet 4 i den opphavlege likninga:

$\begin{array}{rcl}2x+3& = & x+7\\ & & \\ 2·4+3& =& 4+7\\ & & \\ 11& =& 11\end{array}$

Vi ser at når $x=4$, er både venstresida og høgresida lik talet 11, altså like store. Løysinga er riktig.

Nokre gonger er vi ikkje så heldige å få løysinga så enkelt som ovanfor. Vi kan til dømes få

$3x=12$

Dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi deler begge på det same talet.

Vi deler på 3 på begge sider av likskapsteiknet:

$\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{12}{3}$

3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir då lik 1$$ x$$, som er det same som $x$. 12 delt på 3 er lik 4, og likninga blir

$x=4$

Vi har dermed funne løysinga.

Døme på enkel (lineær) likning

Vi tek med eit døme til.

Døme på likning med brøk

Nokre likningar inneheld brøkar. Når vi løyser likningar med brøkar, baserer vi oss på at dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi multipliserer (gongar) begge med det same talet.

Nokre likningar inneheld òg parentesuttrykk. Då startar vi med å gonge ut desse parentesuttrykka.

Døme 1 på likning med parentes

$\begin{array}{rcl}2\left(x+4\right)& = & 6\\ & & \\ 2x+8& =& 6\\ & & \\ 2x& =& 6-8\\ & & \\ 2x& =& -2\\ & & \\ \frac{2x}{2}& =& \frac{-2}{2}\\ & & \\ x& =& -1\end{array}$

Døme 2 på likning med parentes

$\begin{array}{rcl}2\left(2x-1\right) & = & -3\left(x-4\right)\\ & & \\ 4x-2& =& -3x+12\\ & & \\ 4x+3x& =& 12+2\\ & & \\ 7x& =& 14\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$

I CAS i GeoGebra kan vi løyse likningar ved først å skrive inn likninga slik som ho står og deretter bruke kommandoknappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ , som gir eksakt løysing. Då vil det i CAS-feltet stå "Løys:" ved løysinga.

Døme

Løys likninga  $$ 2x=2-x$$  med CAS.

Vi skriv inn likninga, trykkjer på knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$ og får løysinga  $$ x=\frac{2}{3}$$.

Dersom vi ikkje ønskjer å ha svaret som ein brøk, kan vi no trykkje direkte på knappen $$ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{ }}\stackrel{ }{\approx } }$$ utan å skrive inn litt meir. Då vil GeoGebra gjere om svaret på linja over (linje 1) til eit desimaltal, det vil seie ei tilnærma løysing, dersom vi til dømes ikkje vil ha svaret som ein brøk.

Legg merke til at når du trykkjer på knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{ }}\stackrel{ }{\approx } }$$$, set GeoGebra inn symbolet "$1", som er symbolet for "svaret i linje nummer 1". Det er fordi når det ikkje står noko på linja frå før, går GeoGebra automatisk ut ifrå at du meiner svaret i linja over.

I staden for å skrive inn likninga og bruke knappen $$ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$ når du skal løyse ei likning med CAS, kan du bruke kommandoen "Løys()" og skrive likninga inn mellom parentesane slik som nedanfor.

Løys(2x=2-x)

Prøv denne kommandoen!

Når vi skal løyse lineære likningar som dei på sida her, kan vi bruke den følgjande algoritmen:

1. Dersom likninga inneheld parentesar, må vi først multiplisere (gonge) ut desse parentesane.
2. Dersom likninga inneheld brøkar, må vi multiplisere med fellesnemnaren på begge sider av likskapsteiknet.
3. Vi legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet slik at vi får samla alle ledda som inneheld $x$ på venstre side og alle ledda som berre består av tal på høgre side av likskapsteiknet.
4. Vi trekkjer saman ledda.
5. Til slutt dividerer vi med talet føre $x$ på begge sider av likskapsteiknet.

Vi må heilt til slutt ta med ein spesiell situasjon som kan hende. Det hender at den ukjende er "opphøgd i andre potens". I staden for $x$ står det $x^2$, "$x$ i andre potens" eller berre "$x$ i andre".

Når eit tal er "opphøgt i andre potens", betyr det berre at talet skal gongast med seg sjølv.

$\begin{array}{lclcl}{2}^2=2·2=4& & 3^2=3·3=9& & 4^2=4·4=16\\ & & & & \\ 5^2=5·5=25& & 6^2=6·6=36& & \mathrm{osb}.\end{array}$

Når likninga inneheld $x^2$ i staden for $x$, er ikkje likninga lineær lenger. Då løyser vi likninga som vist ovanfor, men no med $x^2$ som den ukjende. Vi finn då kva $x^2$ er lik.

Døme

$\begin{array}{rcl} 4x^2-11& = & 25\\ & & \\ 4x^2-11+11& =& 25+11\\ & & \\ 4x^2& =& 36\\ & & \\ \frac{\cancel{4}{x}^2}{\cancel{4}}& =& \frac{36}{4}\\ & & \\ x^2& =& 9\end{array}$

Det står no berre att å finne ut kva $x$ er lik. Hugs då at $x^2$ betyr $x·x$. Talet $x$ er derfor det talet som gonga med seg sjølv er lik 9. Då kan $x$ vere lik talet 3 fordi, som vi ser ovanfor, så er $3^2=3·3=9$. Legg i tillegg merke til at talet $-3$ gonga med seg sjølv òg er lik 9. Vi har at $(-3)·(-3)=9$.

Løysinga på likninga blir derfor at

$x=3 \mathrm{eller} x=-3$

Legg merke til at vi har to løysingar på likninga. Du er kanskje vand til å tenkje at løysinga på denne likninga er kvadratrota av 9. Det er viktig å hugse på at det berre er det positive talet som opphøgt i andre er lik 9 som vi kallar for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriv

$\sqrt{9}=3$

Svaret på likninga over kan då skrivast

$$ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$$

Prøv òg å løyse likninga med CAS i GeoGebra.