Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Vi må rekne ut kor mange m høgare treet vart per år.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{2,5 \mathrm{m}}{3 \mathrm{år}}=0,83 \mathrm{m}/\mathrm{år}$$

Den gjennomsnittlege vekstfarten var 0,83 m/år.

Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten. Hugs at $$ ∆y$$ er negativ fordi temperaturen søkk.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{-6°}{2 \mathrm{h}}=-3°/\mathrm{h}$$

Temperaturen sokk i gjennomsnitt med 3 gradar per time.

Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten til snødjupna.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{∆x}=\frac{50 \mathrm{cm}-25 \mathrm{cm}}{1,5 \mathrm{h}}=16,7 \mathrm{cm}/\mathrm{h}$$

Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.

Vi kan ikkje vite eksakt kva snødjupna var etter ein halvtime. Vi kan finne ein tilnærma verdi ved hjelp av den gjennomsnittlege vekstfarten.

$$ 25 \mathrm{cm}+0,5\mathrm{h}·16,7 \mathrm{cm}/\mathrm{h}=33,3 \mathrm{cm}$$

Snødjupna var cirka 33 cm etter ein halv time.

Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til vasstanden. Vi byrjar med å rekne ut $$ ∆x$$, som skal målast i minutt.

$$ ∆x=15 \mathrm{h}-11 \mathrm{h}=4 \mathrm{h}=4·60 \min =240 \min $$

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{∆x}=\frac{2,65 \mathrm{m}-1,34 \mathrm{m}}{240 \min }=0,005 46 \mathrm{m}/\min $$

Sidan talet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi vel cm per minutt:

$$ 0,005 46 \mathrm{m}/\min =0,005 46·100 \mathrm{cm}/\min =0,55 \mathrm{cm}/\min $$

Vasstanden steig med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.

Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til verdien på bilen.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{200 000 \mathrm{kr}-600 000 \mathrm{kr}}{(2020-2016) \mathrm{år}}=-100 000 \mathrm{kr}/\mathrm{år}$$

Bilen sokk i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.

Igjen kan vi ikkje vite eksakt kva verdien på bilen var etter eitt år, men vi bruker den gjennomsnittlege vekstfarten til å finne ein tilnærma verdi.

$$ 600 000 \mathrm{kr} +1 \mathrm{år}·(-100 000 \mathrm{kr}/\mathrm{år})=500 000 \mathrm{kr}$$

Verdien på bilen etter eitt år var cirka 500 000 kroner.

Kommentar: Nye bilar søkk mest i verdi det første året. Deretter søkk verdien mindre og mindre for kvart år. Mest sannsynleg vil derfor verdien på bilen vere noko mindre enn 500 000 kroner etter eitt år.

Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:

Vi skriv inn funksjonen $$ f$$ og punkta $$ \left(0.5,f\left(0.5\right)\right)$$ og $$ \left(2,f\left(2\right)\right)$$, kalla $$ A$$ og $$ B$$ på figuren nedanfor. Så bruker vi verktøyet "Linje" til å teikne linja mellom $$ A$$ og $$ B$$ og verktøyet "Stigning" til å finne stigningstalet til linja. (Vi kan òg lese av stigningstalet til linja av formelen for linja.)

Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten er 2,5 når $x$ veks frå 0,5 til 2.

Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& = & \frac{f\left(2\right)-f\left(0,5\right)}{2-0,5}\\ & =& \frac{2^2+2-\left(0,5^2+2\right)}{2-0,5}\\ & =& \frac{6-2,25}{1,5}\\ & =& 2,5\end{array}$$

Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:

Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:

Vi endrar på punkta $$ A$$ og $$ B$$ i den førre oppgåva til $$ \left(0,f\left(0\right)\right)$$ og $$ \left(1.5,f\left(1.5\right)\right)$$ på figuren nedanfor.

Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 0 til 1,5, er 1,5.

Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& = & \frac{f\left(1.5\right)-f\left(0\right)}{1.5-0}\\ & =& \frac{1,5^2+2-\left(0^2+2\right)}{1,5}\\ & =& \frac{1,5^2}{1,5}\\ & =& 1,5\end{array}$$

Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:

Momentan vekstfart grafisk:

Vi skriv inn punktet $$ \left(1,f\left(1\right)\right)$$. Så bruker vi verktøyet "Tangentar" til å teikne tangenten i dette punktet. Til slutt bruker vi verktøyet "Stigning" til å finne stigningstalet til linja og dermed den momentane vekstfarten til grafen i dette tangeringspunktet.

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=1$$, er 2.

Momentan vekstfart med CAS:

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=1$$, er 2.

Vi vel å bruke CAS.

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=-1$$, er $$ -2$$.

Vekstfart $=\frac{4-0}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$.

Vekstfart $=\frac{-4-2}{-4-(-10)}=\frac{-6}{6}=-1$.

Sidan ei rett linje har same stigning overalt, vil den gjennomsnittlege vekstfarten bli lik stigningstalet til linja uansett kva punkt vi bruker i utrekninga.

Den momentane vekstfarten til linjene må òg vere den same overalt og lik stigningstalet til linjene sidan vekstfarten er den same overalt.

Oppgåva spør etter gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen mellom $$ x=8$$ og $$ x=13$$. Vi skriv inn funksjonen $$ h$$ i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon", skriv inn punkta $$ \left(8,h\left(8\right)\right)$$ og $$ \left(13,h\left(13\right)\right)$$ og bruker verktøyet "Linje" til å teikne linja (sekanten) gjennom dei to punkta.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten $y$) at treet i gjennomsnitt vaks 88 cm per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Vi kunne òg ha brukt verktøyet "Stigning" her.

Vi skriv inn punkta $$ \left(17,h\left(17\right)\right)$$ og $$ \left(20,h\left(20\right)\right)$$ og bruker verktøyet "Linje" til å teikne linja (sekanten) gjennom dei to punkta.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten $y$) at treet i gjennomsnitt vaks 24 cm per år i perioden frå 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at $$ x=10$$. Vi vel å løyse oppgåva med CAS.

Treet vaks med 90 cm per år 1. mai 2012.

Vi teiknar grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".

Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finn toppunktet på grafen til $h$.

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Han var då på 867 dyr.

Vi legg inn ei linje $y=850$ i same koordinatsystem som grafen til $h$. Så finn vi skjeringspunkta mellom denne linja og grafen til $h$ ved å bruke kommandoen "Skjering mellom to objekt".

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil seie midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.

Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finn følgande:

Vi finn at hjortebestanden søkk i gjennomsnitt med 66 dyr kvart år i denne perioden.

Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=1$$.

Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.

Vi skriv inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstalet til linja mellom dei to punkta.

Den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 2, er 2,5.

Den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 1,1, er 1,65.

Vi vel å teikne grafen til $$ f$$ inkludert dei to sekantane.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar $x$ auke frå 1 til 1,1.

Det vil ikkje alltid vere slik. Studer figuren nedanfor der vi har teikna ein tredjegradsfunksjon $$ f$$.

Tangenten $$ t$$ til grafen til funksjonen $$ f$$ i punktet $$ A$$ er teikna inn. Stigningstalet til sekanten gjennom $$ A$$ og $$ B$$ er ikkje ei spesielt god tilnærming til den momentane vekstfarten til funksjonen i $$ A$$. Dersom vi flyttar $$ B$$ ut til $$ \left(7,f\left(7\right)\right)$$, får vi ei mykje betre tilnærming. Men flyttar vi $$ B$$ endå lenger ut, blir tilnærminga dårlegare igjen.

Den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=1$$, er 1,5.

Vi må finne gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Vi reknar i CAS.

Treet vaks i gjennomsnitt 32 cm per år frå år 1 til år 4.

Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måtar.

Alternativ 1

Vi kan sjå på forskjellen i høgde mellom år 4 og år 5.

I år 4 vaks treet 12 cm.

Alternativ 2

Veksten det fjerde året er tilnærma lik den momentane vekstfarten når $$ x=4$$, som er eit mål på veksten per år akkurat då.

Vi får omtrent det same svaret som i alternativ 1. I år 4 vaks treet 11 cm.

Vi teiknar grafen til funksjonen $$ h$$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Ut frå grafen til høgdefunksjonen kan vi lese følgande:
Treet veks raskt dei første to åra. Dei neste fire åra er veksten mindre. Dei siste to åra er veksten igjen mykje større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så minkar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter aukar veksten meir og meir.