Oppgåve

Talsystem. Det binære talsystemet

Det finst 10 typar menneske: Dei som forstår binære tal, og dei som ikkje gjer det.

1.1.100

Skriv tala på utvida form med potensar (døme: $103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$ ).

a) 23

Løysing

$23 = 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

b) 50

Løysing

$50 = 5 \cdot 10^{1} + 0 \cdot 10^{0}$

c) 403

Løysing

$403 = 4 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

d) 101₂

Løysing

Vi kan setje tala inn i ein tabell slik som på teorisida for å få litt ekstra hjelp.

$4 = 2^{2}$	$2 = 2^{1}$	$1 = 2^{0}$
1	0	1

$101_{2} = 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

e) 11 011₂

Løysing

$11 011_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

f) 1 011 101₂

Løysing

$\begin{array}{rcl} 1 011 101_{2} & = & 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} \\ + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \end{array}$

g) 2E₁₆

Løysing

$2 E_{16} = 2 \cdot 16^{1} + 14 \cdot 16^{0}$

h) 4AD2₁₆

Løysing

$4 AD 2_{16} = 4 \cdot 16^{3} + 10 \cdot 16^{2} + 13 \cdot 16^{1} + 2 \cdot 16^{0}$

1.1.101

Skriv tala som tal i titalssystemet.

a) $101_{2}$

Løysing

Vi finn svaret ved å skrive talet på utvida form.

$\begin{array}{rcl} 101_{2} & = & 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \\ = & 5_{10} \end{array}$

b) $11 001_{2}$

Løysing

Vi kan godt utelate ledda som blir 0 når vi skriv tala på utvida form, sidan vi skal gjere om til tal i titalssystemet.

$\begin{array}{rcl} 11 001_{2} & = & 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \\ = & 25_{10} \end{array}$

c) $110 001_{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 110 001_{2} & = & 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 1 \\ = & 49_{10} \end{array}$

d) $1 011 011_{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 1 011 011_{2} & = & 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} \\ + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 64 + 16 + 8 + 2 + 1 \\ = & 91_{10} \end{array}$

e) BC₁₆

Løysing

${BC}_{16} = 11 \cdot 16^{1} + 12 \cdot 16^{0} = 188_{10}$

f) 14FF₁₆

Løysing

$\begin{array}{rcl} 14 {FF}_{16} & = & 1 \cdot 16^{3} + 4 \cdot 16^{2} + 15 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} \\ = & 4 096 + 4 \cdot 256 + 15 \cdot 16 + 15 \\ = & 5 375_{10} \end{array}$

g) 275₈

Tips til oppgåva

Dette er eit tal i åttetalssystemet.

Løysing

Vi må bruke potensar der grunntalet er 8 når vi skal skrive talet på utvida form.

$\begin{array}{rcl} 275_{8} & = & 2 \cdot 8^{2} + 7 \cdot 8^{1} + 5 \cdot 8^{0} \\ = & 2 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 5 \\ = & 189_{10} \end{array}$

1.1.102

Skriv tala som tal i totalssystemet.

a) 10₁₀

Løysing

Vi må skrive 10 som ein sum av toarpotensar. 10 er mindre enn 16 ( $2^{3}$ ), men større enn 8 ( $2^{2}$ ). Resten blir 2 ( $2^{1}$ ).

$\begin{array}{rcl} 10_{10} & = & 8 + 2 \\ = & 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{1} \\ = & 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 1 010_{2} \end{array}$

b) 21₁₀

Løysing

$\begin{array}{rcl} 21_{10} & = & 16 + 4 + 1 \\ = & 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 10 101_{2} \end{array}$

c) 100₁₀

Løysing

$\begin{array}{rcl} 100_{10} & = & 64 + 32 + 4 \\ = & 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{2} \\ = & 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} \\ + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 1 100 100_{2} \end{array}$

d) 200₁₀

Løysing

$\begin{array}{rcl} 200_{10} & = & 128 + 64 + 8 \\ = & 1 \cdot 2^{7} + 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{3} \\ = & 1 \cdot 2^{7} + 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} \\ + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 11 001 000_{2} \end{array}$

1.1.103

Kva blir talet i totalssystemet som startar med 1 og har 16 nullar etter seg dersom vi reknar det om til eit tal i titalssystemet?

Løysing

1-talet står på plassen som svarer til potensen $2^{16}$ .

$10 000 000 000 000 000_{2} = 1 \cdot 2^{16} = 65 536_{10}$

1.1.104

a) Legg saman 378 og 742 manuelt ved å setje dei under kvarandre.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \overset{1}{3} \overset{1}{7} 8 \\ + 742 \\ = & 1120 \end{array}$

b) Legg saman 10 101₂ og 1 110₂ på tilsvarande måte.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \overset{1}{1} \overset{1}{0} 101 \\ + 1110 \\ = & 100011 \end{array}$

1.1.105 – utfordring!

a) Skriv ein algoritme for eit program som gjer om eit tal i totalssystemet til eit tal i titalssystemet.

Løysing

Vi tek utgangspunkt i framgangsmåten i oppgåva over, der vi gjer om frå eit tal i totalssystemet til eit tal i titalssystemet ved rekning. Vi lar programmet ta siffer for siffer og multiplisere kvart siffer med rett toarpotens .

La brukaren av programmet skrive inn det binære talet.
Finn lengda av talet, altså kor mange siffer talet har.
Lag ei lykkje som sjekkar kvart siffer, og dersom sifferet er 1, blir 1 multiplisert med den tilhøyrande toarpotensen. Resultatet blir lagt til ein variabel for talet i titalssystemet.
Skriv innhaldet av variabelen til skjermen.

b) Skriv koden til programmet.

Tips til oppgåva

Her kan det vere lurt å bruke ei for-lykkje. Hugs at det er mange måtar å løyse dette på.

Løysing

python

1    # Skriv litt forklarande tekst
2print("Dette programmet gjer om eit binært tal til eit tal i titalssystemet.")
3bin = input("Skriv inn det binære talet: ")
4sifre = len(bin)
5sum = 0
6    # Lagar for-lykkje som går gjennom det binære talet siffer for siffer
7for i in range(sifre):
8  if bin[i] == "1":
9    sum = sum + 2**(sifre-1-i)
10  
11print(f"Det binære talet {bin} er {sum} i titalssystemet.")

c) Skriv ein algoritme for eit program som gjer om eit tal i titalssystemet til eit binært tal.

Løysing

Vi må finne ut korleis talet blir skrive på utvida form i totalssystemet, som betyr at vi må skrive talet som ein sum av toarpotensar.

La brukaren skrive inn talet i titalssystemet som skal gjerast om.
Først må vi finne den største toarpotensen som er mindre enn talet som skal gjerast om. (For talet 100 er $2^{6} = 64$ den største toarpotensen som er mindre enn talet.) Dette kan vi gjere ved å prøve med 2 opphøgd i 0, 2 opphøgd i 1 og så vidare, heilt til toarpotensen blir større enn talet som skal gjerast om.
Vi reknar ut kor stor resten blir når vi trekker frå denne toarpotensen. Vi får sifferet "1" for denne potensen.
Så må vi sjekke om resultatet er positivt eller negativt ved å trekke den nest største toarpotensen frå resten. Er resultatet negativt, betyr det at resten er mindre enn den nest største toarpotensen, som gir sifferet "0" på denne posisjonen i det binære talet. Er resultatet positivt eller null, får vi sifferet "1" på denne posisjonen, og vi trekker denne toarpotensen frå resten. Så gjentek vi denne prosessen til vi har komme til 2 opphøgd i 0.
Skriv ut svaret til skjermen.

d) Skriv koden til programmet.

Løysing

python

1    # Skriv litt forklarande tekst
2print("Dette programmet gjer om eit tal i titalssystemet til eit binært tal.")
3tital = int(input("Skriv inn talet i titalssystemet: "))
4    # Finn den største toarpotensen som er mindre enn talet
5i = 0
6while 2**(i+1) < tital:
7  i = i + 1
8
9bin = ""
10rest = tital
11    # Genererer det binære talet siffer for siffer
12while i > -1:
13  if rest - 2**i >= 0:
14    rest = rest - 2**i
15    bin = bin + "1"
16  else:
17    bin = bin + "0"
18  
19  i = i - 1  
20  
21print(f"Talet {tital} i titalssystemet er {bin} i totalssystemet.")

Talrekning

1.1.100

1.1.101

1.1.102

1.1.103

1.1.104

1.1.105 – utfordring!