Takvinklar og tangens

Vi må hugse å dele opp rommet slik at vi får ein rettvinkla trekant som vi kan rekne på. Her må vi tenkje oss at vi deler rommet i to på midten slik at vi får to like, rettvinkla trekantar. Breidda av rommet i éin av trekantane blir då 3,00 m. Trekantane har lik takhøgde. Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}& = & \tan 23°\end{array}$$

Det betyr at vi må multiplisere rombreidda med$\tan 23°$for å rekne ut takhøgda. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{takhøgde}& = & \mathrm{rombreidde}·\tan 23°\\ & & \\ & =& 3,00 \mathrm{m}·\tan 23°\\ & & \\ & =& 1,27 \mathrm{m}\end{array}$$

(Vi kan òg løyse dette som ei likning dersom vi vil. Då set vi takhøgda lik $x$.)

Rommet blir 1,27 m på det høgaste. Det er altfor lågt for eit opphaldsrom.

Her er takvinkelen ukjend, så vi kallar han $$ x$$. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{3,00 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,8\\ & & \\ x& =& 38,7°\end{array}$$

Takvinkelen må vere 39 grader.

Den største tillatne takvinkelen er 27 grader. Takhøgda er 2,40 m. Sidan vi multipliserer med forholdstalet$\tan 27°$når vi reknar ut takhøgder, må vi dele på dette talet når vi skal rekne ut rombreidder. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}& = & \tan 27°\\ & & \\ \mathrm{Rombreidde}& =& \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\tan 27°}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{\tan 27°}\\ & & \\ & =& 4,71 \mathrm{m}\end{array}$$

Vi må hugse at dette berre er den halve breidda av rommet. Heile breidda på huset må altså minst vere

$4,71 \mathrm{m}·2=9,42 \mathrm{m}$

Alternativ løysingsmetode: Vi løyser det som ei likning og set den ukjende rombreidda lik $x$. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}& = & \tan 27°\\ & & \\ \frac{2,40}{x}& =& \tan 27°\\ & & \\ \cancel{x}·\frac{2,40}{\cancel{x}}& =& \tan 27°·x\\ & & \\ 2,40& =& \tan 27°·x\\ & & \\ \frac{2,40}{\tan 27°}& =& \frac{\cancel{\tan 27°}·x}{\cancel{\tan 27°}}\\ & & \\ 4,71& =& x\end{array}$$

Heile breidda blir igjen det dobbelte av dette, altså 9,42 m.

Utan takløft er høgda under mønet 1,27 m. Dersom høgda under mønet skal vere 2,00 m, må taket løftast

$2,00 \mathrm{m}-1,27 \mathrm{m}=0,73 \mathrm{m}=73 \mathrm{cm}$

Dette blir òg høgda på veggene ytst sidan ho i utgangspunktet var null.

Frå den førre oppgåva har vi at ytterveggen er 73 cm høg. Ein knevegg som blir bygd ei ukjend lengde $x$ cm frå ytterveggen, skal altså ha ei høgde på 120 cm. Då aukar vegghøgda frå 73 cm til 120 cm, altså blir det ein høgdeforskjell på $120 \mathrm{cm}-73 \mathrm{cm}=47 \mathrm{cm}$.

Denne høgdeforskjellen er "takhøgda" i ein liten trekant med same "takvinkel" som huset og "rombreidde" lik den ukjende lengda $x$. For å rekne ut den ukjende "rombreidda", må vi som tidlegare dividere "takhøgda" på tangens til "takvinkelen". Vi får

$$ x=\frac{"\mathrm{Takhøgde}"}{\tan 23°}=\frac{47 \mathrm{cm}}{\tan 23°}=111 \mathrm{cm}$$

Kneveggen må byggjast 1,11 m frå ytterveggen. Når vi gjer det på begge sider, blir breidda av rommet

$6,00 \mathrm{m}-2·1,11 \mathrm{m}=3,78 \mathrm{m}$

Vi må dele rommet i to før vi reknar på vinkelen. Då blir rombreidda

$7,5 \mathrm{m}:2=3,75 \mathrm{m}$

Vi bruker definisjonen av tangens til ein takvinkel $x$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,30 \mathrm{m}}{3,75 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,613\\ & & \\ x& =& 32°\end{array}$$

Her veit vi ikkje høgda oppunder taket på det høgaste, men vi kan lage oss ein trekant med same "takvinkel" der "takhøgda" er 2,40 m. Vi kan rekne ut "rombreidda" i denne trekanten ved å ta den totale breidda av rommet, trekkje frå området på midten der takhøgda var over 2,40 m og til slutt dele svaret på to. "Rombreidda" blir

$\frac{6,00 \mathrm{m}-1,50 \mathrm{m}}{2}=2,25 \mathrm{m}$

Frå definisjonen av tangens til takvinkelen $x$ har vi vidare at

$$ \begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{2,25 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 1,07\\ & & \\ x& =& 47°\end{array}$$

Takvinkelen er 47 grader.

Dersom vi trekkjer ei linje frå toppen av den eine kneveggen til toppen av den andre, får vi ein figur lik han i oppgåve 2 a). Avstanden mellom kneveggane er 5 m. Høgda opp til mønet frå denne linja blir

$2,70 \mathrm{m}-1,20 \mathrm{m}=1,50 \mathrm{m}$

Vi må igjen dele golvbreidda i to for å få to rettvinkla trekantar. Kvar rettvinkla trekant har då "takhøgde" lik 1,50 m og "rombreidde" lik

$5 \mathrm{m}:2=2,5 \mathrm{m}$

Frå definisjonen av tangens til ein takvinkel får vi

$$ \begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}\\ & & \\ & =& \frac{1,50 \mathrm{m}}{2,50 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,6\\ & & \\ x& =& 31°\end{array}$$

Takvinkelen er 31 grader.