Arealformelen for trekantar

Vi skal finne arealet av eit trekanta leikeområde ABC der AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.

Løysing

(Her reknar vi utan GeoGebra fordi vi ønskjer å sjå heile utrekninga for å komme fram til arealformelen!)

Vi kjenner arealformelen for ein trekant $T=\frac{g·h}{2}$.

Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. I den venstre rettvinkla trekanten blir høgda h motståande katet til vinkel A. Hypotenusen blir sida AC. Da kan vi setje opp

$\begin{array}{rcl} \sin A& = & \frac{\mathrm{Motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{h}{AC}\\ & & \\ \sin 57°& =& \frac{h}{50}\\ & & \\ h& =& 50·\sin 57°\end{array}$

Når vi set dette inn i arealformelen for trekanten, får vi

$T=\frac{g·h}{2}=\frac{60·50·\sin 57°}{2}=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°\approx 1300$

Arealet av leikeområdet er $1300 {\mathrm{m}}^2$.

Du ser kanskje at denne framgangsmåten kan brukast i alle liknande situasjonar. Vi kan da lage ein generell formel for arealet av ein trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei.

Med same framgangsmåte som over, får vi

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ & & \\ h& =& b·\sin A\end{array}$

Vi får då at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{c·h}{2}\\ & & \\ & =& \frac{c·b·\sin A}{2}\\ & & \\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$