Variable storleikar i strikking og mosjon

Vi veit at 22 masker er 10 cm. Då kan vi finne talet på masker på éin cm ved å dele 22 med 10.

$\frac{22 \mathrm{maskar}}{10 \mathrm{cm}}=2,2 \frac{\mathrm{maskar}}{\mathrm{cm}}$

Vi må multiplisere talet på masker per cm med talet på cm vi skal strikke. Vi får at talet på masker blir

$2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·45 \mathrm{cm}=99 \mathrm{masker}$

Når vi skal finne ut kor mange masker det blir i breidda, må vi gonge 2,2 med talet på cm, altså får vi

$b\left(x\right)=2,2·x=2,2x$

Talet på masker per cm i høgda blir

$\frac{25 \mathrm{maskar}}{10 \mathrm{cm}}=2,5 \frac{\mathrm{maskar}}{\mathrm{cm}}$

$h\left(y\right)=2,5·y=2,5y$

Vi bruker ikkje den same bokstaven fordi dei måler to ulike ting. Den eine måler breidda, den andre måler høgda, og dei vil ha ulike verdiar i praksis.

Opplysningane betyr at $x=70$ og $y=40$. Talet på masker i breidda blir

$b\left(70\right)=2,2·70=154$

mens talet på masker i høgda blir

$h\left(40\right)=2,5·40=100$

Dette blir som arealet av eit rektangel målt i masker. Vi må multiplisere talet på masker i breidda med talet på masker i høgda. Talet på masker totalt blir

$154·100=15 400$

Her er det mange måtar å gå fram på. Vi tek utgangspunkt i formelen $b\left(x\right)=2,2x$. Vi veit no at $b\left(x\right)=132$. Då får vi

$\begin{array}{rcl}2,2x & =& 132\\ \frac{\cancel{2,2}x}{\cancel{2,2}} & =& \frac{132}{2,2}\\ x & =& 60\end{array}$

Breidda blir 60 cm.

Dette blir det motsette av funksjonen $b\left(x\right)$.

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $b\left(x\right)=2,2x$. For å gjere det enklare, skriv vi no

$b=2,2x$. (Hugs at $b\left(x\right)$ berre er ein skrivemåte. Storleiken har namnet $b$.)

Vi ønskjer å ende opp med $x=$. Då gjer vi omtrent som i den førre oppgåva.

$\begin{array}{rcl}b & =& 2,2x\\ \frac{b}{2,2} & =& \frac{\cancel{2,2}x}{\cancel{2,2}}\\ \frac{b}{2,2} & =& x\\ x & =& \frac{b}{2,2}\end{array}$

No kan vi rekne ut breidda $x$ ut ifrå talet på masker $b$, og vi kan skrive

$x\left(b\right)=\frac{b}{2,2}$

Alternativ 2

Vi veit at 22 masker i breidda svarer til 10 cm. Då vil 1 maske svare til

$\frac{10 \mathrm{cm}}{22}=0,455 \mathrm{cm}$

For å finne ut kor langt eit visst tal masker $b$ er, må vi multiplisere $b$ med dette talet. Det gir oss

$x\left(b\right)=0,455·b=0,455b$

Vi tek utgangspunkt i formelen/funksjonen i alternativ 2.

$$\begin{gathered} x\left(b\right)=0,455·b=\frac{10}{22}·\frac{b}{1}=\frac{10·b}{22·1} \\ =\frac{\cancel{10}·b}{\cancel{10}·2,2}=\frac{b}{2,2} \end{gathered}$$

Konklusjon: Det er den same formelen.

Dette blir det motsette av funksjonen $h\left(y\right)$.

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $h\left(y\right)=2,5y$. For å gjere det enklare, skriv vi no $h=2,5y$. (Hugs at $h\left(y\right)$ berre er ein skrivemåte. Storleiken har namnet $h$.)

Vi ønskjer å ende opp med $y=$. Vi får

$\begin{array}{rcl}h & =& 2,5y\\ \frac{h}{2,5} & =& \frac{\cancel{2,5}y}{\cancel{2,5}}\\ \frac{h}{2,5} & =& y\\ y & =& \frac{h}{2,5}\end{array}$

No kan vi rekne ut breidda $x$ ut ifrå talet på masker $b$, og vi kan skrive

$y\left(h\right)=\frac{h}{2,5}$

Alternativ 2

Vi veit at 25 masker i høgda svarer til 10 cm. Då vil 1 maske svare til

$\frac{10 \mathrm{cm}}{25}=0,4 \mathrm{cm}$

For å finne ut kor høgt eit visst tal masker $h$ er, må vi multiplisere $h$ med dette talet. Det gir oss

$y\left(h\right)=0,4·h=0,4h$

Vi får

$b\left(x\right)=\frac{12}{10}·x=1,2·x=1,2x$

Då må den motsette formelen bli

$x\left(b\right)=\frac{b}{1,2}$

Forholdet mellom mengda masker i høgda og talet på masker i breidda skal vere det same. Med originalgarnet er dette forholdet $\frac{25}{22}$. Dersom vi set det ukjende talet på masker i høgda for $n$ med det andre garnet, blir forholdet $\frac{n}{12}$. Desse to forholda må vere like, og vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{n}{12} & =& \frac{25}{22}\\ \frac{n·\cancel{12}}{\cancel{12}} & =& \frac{{\displaystyle 25·12}}{{\displaystyle 22}}\\ n & =& 13,6\end{array}$

Sjølv om vi ikkje kan strikke 13,6 masker, kan vi rekne med talet 13,6. Vi får vidare at

$h\left(y\right)=\frac{13,6}{10}·y=1,36·y=1,36y$

Den motsette formelen blir

$y\left(h\right)=\frac{h}{1,36}$

Vi må finne ut kor langt Tove kjem på eitt minutt. Tida i minutt er

$1\mathrm{h} 34\min =60 \min +34 \min =94 \min$

Talet på km per minutt blir

$\frac{28,6 \mathrm{km}}{94 \min }=0,304 \mathrm{km}/\min$

Dette er eit mål på farten til Tove.

Vi kan då setje opp følgjande uttrykk:

$s\left(t\right)=0,304t$

Vi gjer om tida til minutt.

$1\mathrm{h} 2\min =60 \min +2 \min =62 \min$

Her er vi interessert i talet på minutt per km. Då må vi gjere det motsette av kva vi gjorde i den førre oppgåva.

$\frac{62 \min }{28,6 \mathrm{km}}=2,17 \min /\mathrm{km}$

Dette er òg eit mål på fart, men i staden for å seie noko om kor langt Christian kjem per minutt som i den førre oppgåva, seier talet her noko om kor lang tid han bruker per km. Dersom vi multipliserer dette talet med kor langt han har sykla, får vi kor lang tid han brukte. Vi får derfor

$t\left(x\right)=2,17x$

Her skal vi altså fram til ein funksjon $s$, ikkje $s\left(t\right)$, men $s\left(x\right)$ sidan $x$ er kor langt Christian har kome.

Erstatt $t$ i formelen for $s\left(t\right)$ med formelen $t\left(x\right)$.

$s\left(x\right)=0,304t=0,304·t\left(x\right)=0,304·2,17x=0,66x$

Formelen fortel oss at for kvar km Christian syklar, syklar Tove 0,66 km eller 660 m.

Her har vi at $x=5$. Då får vi

$s\left(5\right)=0,66·5=3,3$

Tove har sykla 3,3 km når Christian har sykla 5 km.

Her må vi gjere tilsvarande som i oppgåvene over, men vi kan ta nokre snarvegar.

Vi fann i oppgåve c) at vi enda opp med å multiplisere dei to forholdstala for km/min for Tove og min/km for Christian.

Tove:

$1\mathrm{h} 40\min =60 \min +40 \min =100 \min$

$\frac{6,9 \mathrm{km}}{100 \min }=0,069 \mathrm{km}/\min$

Christian:

$1\mathrm{h} 9\min =60 \min +9 \min =69 \min$

$\frac{69 \min }{6,9 \mathrm{km}}=10 \min /\mathrm{km}$

Vi får

$s\left(x\right)=0,069·10x=0,69x$

Tove kjem lenger per km Christian har kome på fottur sidan konstanten i formelen for fottur (0,69) er større enn for sykling (0,66). Christian er derfor ikkje like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel (sjølv om forskjellen ikkje er veldig stor).