Oppgåve

Funksjonar og tre representasjonar av dei

Oppgåvene kan løysast med alle hjelpemiddel om det ikkje står noko anna.

Denne sida er arkivert. Innhaldet kan vere utdatert.

3.1.1

Gut som ber ei jente på ryggen. Illustrasjon.

a) Teikn og beskriv omgrepa: koordinatsystem, $x$ -akse, $y$ -akse, koordinatar og punkt.

b) Teikn eit koordinatsystem. Set namn på aksane. Teikn punkta (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punkta.

c) Samarbeidsoppgåve: Den eine eleven lagar eit koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer kva punkt den første eleven skal teikne i koordinatsystemet sitt. Klarer de å lage figurar av punkta?

De treng ein taxi. Det kostar 60 kroner for å bestille ein taxi heim til dykk og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Sidan vi ikkje veit kor mange kilometer taxien skal køyre, bruker vi bokstaven $x$ for talet på kilometer. Prisen for taxituren kallar vi $P$ . Kor stor blir $P$ ? Prisen er avhengig av kor mange kilometer vi køyrer, og vi skriv $P (x)$ .

$P (x) = 14 \cdot x + 60$

a) Forklar med dine eigne ord kva funksjonsuttrykket, $P (x)$ , viser.

Vis fasit

Funksjonsuttrykket viser prisen for ein taxitur når ein køyrer $x$ kilometer. Det kostar 60 kroner i fast pris når ein ringjer etter taxi og deretter 14 kroner per kilometer ein køyrer med taxien.

b) Lag ein verditabell for $x$ -verdiane 10, 20, 30, 40 og 50.

Vis fasit

Verditabell
Talet på kilometer, $x$	10	20	30	40	50
Pris, $P (x)$	200	340	480	620	760

c) Forklar kva verditabellen fortel deg.

Vis fasit

Verditabellen viser prisen for ein taxitur når ein køyrer høvesvis 10, 20, 30, 40 og 50 kilometer.

3.1.3

Arealet av tre sirklar med radius 1, 1 komma fem og 2. Under kvar sirkel er formel for arealet av sirkelen gitt. — Tre sirklar med arealformel

Figuren ovanfor viser radiusen og arealet til tre sirklar.

a) Kva storleik er det som bestemmer arealet til ein sirkel?

Vis fasit

Radiusen bestemmer storleiken på arealet til ein sirkel.

b) Kan vi seie at arealformelen for ein sirkel $A = π \cdot r^{2}$ er ein funksjon? Forklar i så fall kvifor.

Vis fasit

Arealet av sirkelen blir bestemt av radiusen. Til alle verdiar av radiusen, $r$ , finst ein nøyaktig verdi av arealet til sirkelen. Vi kan då seie at arealet til ein sirkel er ein funksjon av radiusen, $r$ .

3.1.4

Tenk deg at du er på butikken og handlar smågodt.

a) Skriv ned eit funksjonsuttrykk som viser samanhengen mellom pris $P$ og talet på hg smågodt du kjøper. La prisen på smågodt vere 9,90 per hg og $x$ kor mange hg du kjøper.

Vis fasit

Funksjonsuttrykket kan vere $P (x) = 9, 90 \cdot x$ .

b) Lag eit nytt funksjonsuttrykk, $Q (x)$ , som viser kor mykje du betaler når du kjøper smågodt. No er prisen sett ned til 7,90 kr per hekto, men du må betale 5,00 kr for begeret som du fyller smågodtet i.

Vis fasit

Ein funksjon som viser prisen, $Q (x)$ , har $x$ som variabel (sidan du kan kjøpe så mange hekto smågodt du ønskjer), og $x$ blir multiplisert med pris per hekto. Til slutt må prisen for begeret, 5,00 kr, blir lagt til som ein eingongskostnad.

$Q (x) = 7, 90 \cdot x + 5, 00$

3.1.5

Du hugsar sikkert at formelen for areal av eit kvadrat er

$A = side \cdot side = s^{2}$

a) Lag ein tabell i eit rekneark der du finn arealet til kvadrat med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lagar tabellen.

Vis fasit

Reknearket kan sjå slik ut:

Rekneark
	A	B	B (formelvisning)
1	Sidekant i kvadratet	Arealet av kvadratet
2	2	4	=A2^2
3	4	16	=A3^2
4	6	36	=A4^2
5	8	64	=A5^2
6	10	100	=A6^2
7	12	144	=A7^2
8	14	196	=A8^2
9	16	256	=A9^2

Nedanfor kan du sjå utrekningane i eit ekte rekneark.

Arealet av kvadrat(XLSX)

b) Kan du eit namn på tala som viser dei ulike areala?

Vis fasit

Ein kan kalle arealet av eit kvadrat for eit kvadrattal.

3.1.6

Ein familie betalte 2 000 kroner i etableringsgebyr for å få tilgang til Kanal Hurra sine strøymetenester. I tillegg betaler familien 210 kroner per månad for abonnementet og 70 kroner per månad for å leige ein dekodar.

a) Kor mykje må familien betale for abonnementet det første året?

Vis fasit

Familien betaler 2 000 kroner i etableringsgebyr. I tillegg kjem det kostnader på $210 kr + 70 kr$ kvar månad.

I alt blir dette

$2 000 kr + 280 kr \cdot 12 = 5 360 kr$

b) Forklar at utgiftene for abonnementet, $U$ , etter $x$ månader kan uttrykkjast som funksjonen $U (x)$ gitt ved

$U (x) = 280 \cdot x + 2 000$

Vis fasit

280 er dei månadlege utgiftene, mens 2 000 er eingongsbeløpet for etablering av abonnementet. Etter $x$ talet på månader kan vi då finne utgiftene ved å multiplisere 280 kr med talet på månader, $x$ . I tillegg må etableringsgebyret på 2 000 kr leggjast til.

c) Teikn grafen til $U$ i eit koordinatsystem. Vel $x$ -verdiar mellom 0 og 36. Kvifor vel vi å la $x$ -aksen gå til 36?

Vis fasit

$x$ -aksen viser månader, og når han går til 36, får vi oversikt over tre år. I GeoGebra skriv vi

U(x)=Funksjon(280x+2000,0,36)

Kommandoen etter likskapsteiknet kan vi lage kjapt ved å byrje å skrive ordet "Funksjon" og velje alternativet "Funksjon(<Funksjon>, <Start>,< Slutt>)" som dukkar opp.

Grafen til funksjonen U av x er lik 280 x pluss 2000 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 36 der x står for talet på månader. Grafen er ei rett, stigande linje. Punktet A som ligg på grafen til U og har koordinatane 24 og 8720, er teikna inn. Skjermutklipp. — Graf som viser abonnementsutgifter i kroner

d) Bruk grafen til å finne ut kor mykje familien har betalt etter to års abonnement.

Vis fasit

To år er 24 månader, og $x$ -verdien må vere 24. Vi skriv inn punktet $(24, U (24))$ i GeoGebra. Sjå punkt $A$ på grafen i oppgåve c). Etter to år har familien hatt utgifter på 8 720 kr.

3.1.7

Du og familien din er på ferie og vil leige ein bil. De tek ein tur for å undersøkje pris og får dette tilbodet: fastpris 650 kr og 6,20 kr per kilometer.

a) Bruk desse opplysningane til å skrive eit funksjonsuttrykk, $K (x)$ , som kan brukast for å rekne ut kostnadene ved å leige ein bil.

Vis fasit

Eit funksjonsuttrykk som viser kostnadene, $K (x)$ , som ein funksjon av talet på kilometer, $x$ , kan skrivast som

$K (x) = 6, 20 \cdot x + 650$

b) Vel fem ulike turlengder, til dømes 50 km, 100 km osb. Rekn ut kostnadene for kvar av dei, og set opp tala i ein verditabell.

Vis fasit

Verditabell
Talet på kilometer, $x$	50	100	150	200	250
Kostnadene, $K (x)$	960	1 270	1 580	1 890	2 200

c) Bruk resultata frå b) til å teikne ein graf til $K$ .

Vis fasit

Grafen til K av x er lik 6,2 x pluss 650 er teikna med talet på kilometer langs x-aksen og kostnader langs y-aksen. Grafen er teikna for x-verdiar frå 0 til 340. På grafen er det merka av 6 punkt. Dei har koordinatane A 50 og 960, B 100 og 1270, C 150 og 1580, D 200 og 1890 og E 250 og 2200. Den loddrette linja x er lik 180 er teikna inn og skjeringspunktet F med grafen til K er teikna inn. F har koordinatane 180 og 1766. Skjermutklipp. — Graf som vise kostnader i kroner

Vi legg punkta inn i eit koordinatsystem. Punkta ligg på ei rett linje. Det ser vi også når vi skriv inn funksjonsuttrykket og får teikna grafen, som går gjennom alle punkta.

d) Bruk grafen, og finn ut kor mykje det kostar å køyre 18 mil.

Vis fasit

Vi teiknar linja $x = 180$ og finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punktet $F$ på grafen i oppgåve c).

Det kostar 1 766 kr å køyre 18 mil (180 kilometer).

3.1.8 Løys oppgåva utan hjelpemiddel

I 2008 hadde Camilla eit mobilabonnement. Ho betalte 99 kroner i fast pris per månad og 0,49 kroner per ringeminutt, $t$ . Kostnadene, $k$ , ved å bruke mobiltelefonen ein månad kan vi skrive som

$k (t) = 0, 49 \cdot t + 99$

der $t$ varierer frå og med 50 til og med 200.

a) Lag ein verditabell for $k$ .

Vis fasit

Verditabell
$t$	50	100	150
$k (t)$	123,50	148,00	172,50

b) Teikn grafen til $k$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen k av t er lik 0,49 t pluss 99 er teikna for t-verdiar mellom 50 og 200 der t står for talet på ringeminutt. Grafen er ei rett, stigande linje. Tre punkt ligg på grafen til k og har koordinatane 50 og 123,5, 100 og 148 og til slutt 150 og 172,5 er teikna inn. Skjermutklipp. — Graf som viser utgiftene i kroner

c) Finn grafisk kor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Vis fasit

$y$ -aksen viser kostnadene. Vi finn 160 på $y$ -aksen og lagar ei rett linje til grafen. Vi les av $x$ -verdien og får cirka 125. Camilla har altså ringt i cirka 125 minutt når kostnaden er 160 kroner. Sjå grafen i b).

3.1.9

Temperatursvingingane gjennom eit døgn er gitt ved funksjonen

$T (x) = - 0, 005 x^{3} + 0, 12 x^{2} - 2$

der $x$ er talet på timar etter midnatt.

a) Forklar at $x$ varierer frå og med 0 til og med 24.

Vis fasit

Talet på timar i eit døgn er 24. Funksjonen gjeld for eit døgn.

b) Teikn grafen til funksjonen $T$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen T av x er lik 0,005 x i tredje pluss 0,12 x i andre minus 2 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 26 og y-aksen går frå minus 2 til 9. Tittelen på x-aksen er x timar etter midnatt. Tittelen på y-aksen er T av x temperatur i grader C. På grafen er toppunktet C med koordinatane 16 og 8,42 markert. Linja y er lik 6 er også teikna inn saman med dei to skjeringspunkta mellom linja og grafen til T av x. Det eine skjeringspunktet A har koordinatene 11,17 og 6 medan det andre, B, har koordinatane 20 og 6. Skjermutklipp. — Graf som viser temperaturen gjennom eit døgn

c) Bruk grafen, og finn når temperaturen er 6° C.

Vis fasit

Sidan $y$ -aksen viser temperatur, kan vi skrive $y = 6$ og få linja fram i koordinatsystemet. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $T$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta $A$ og $B$ på grafen i oppgåve b). Temperaturen er 6° C klokka 11.00 og klokka 12.00 .

d) Kva er den lågaste temperaturen, og kva er den høgaste temperaturen gjennom døgnet?

Vis fasit

Av grafen ser vi at den lågaste temperaturen er $- 2 ° C$ . Vi finn toppunktet på grafen med kommandoen Ekstremalpunkt(T,10,20). Den høgaste temperaturen er cirka $8, 2 ° C$ . Sjå punktet $C$ på grafen i oppgåve b).

3.1.10

Dei beste maratonløparane i verda spring med tilnærma konstant fart og bruker cirka 2 timar og 4 minutt på ein maraton. Ein maratondistanse er 42 195 meter.

a) Kor mange meter tilbakelegg desse løparane per minutt?

Vis fasit

2 timar og 4 minutt er 124 minutt.

Distanse per minutt: $\frac{42 195 meter}{124 minutt} = 340 m / minutt$

b) Lag ein funksjon som viser samanhengen mellom distansen, $d$ , løparane tilbakelegg og tida, $t$ .

Vis fasit

$d (t) = 340 \cdot t$

c) Lag ein verditabell for $t = 30, t = 60, t = 90$ og $t = 120$ .

Vis fasit

Verditabell
$t$	$d (t)$
30	10 200
60	20 400
90	30 600
120	40 800

d) Teikn grafen, og finn ut kva distanse løparane har tilbakelagt når dei har sprunge i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet.

Vis fasit

Grafen til funksjonen d av t er lik 340 t er teikna i eit koordinatsystem for t-verdiar mellom 0 og 130. Grafen er er rett, stigande linje gjennom origo. Punktet A på grafen som har koordinatane 45 og 15300, er også teikna inn. Skjermutklipp. — Graf som viser tilbakelagt distanse som funksjon av tida

Vi bruker kommandoen "Funksjon" slik: d(t) = Funksjon(340t,0,1000). Vi skriv inn punktet $(45, d (45))$ . Sjå punktet A på grafen. Dei har sprunge 15 300 meter, det vil seie 15,3 km, på 45 minutt.