Hopp til innhald
Fagartikkel

Metoden med fullstendige kvadrat

Kva er eit fullstendig kvadrat, og korleis kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat?

Fullstendige kvadrat

Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Til dømes er uttrykka x2-6x+9 og 4x2+4x+1 fullstendige kvadrat fordi x2-6x+9=x-32 og 4x2+4x+1 = 2x+12.

Vi bruker ofte bokstavane a og b både i kvadratsetningane og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringa, så vi vel her å bruke andre bokstavar for å gjere det enkelt. Då får vi kvadratsetningane på denne forma:

k+p2 = k2+2kp+p2k-p2 = k2-2kp+p2

Å kjenne igjen eit fullstendig kvadrat

Det er ikkje alltid så lett å sjå med ein gong om eit andregradsuttrykk på forma ax2+bx+c er eit fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket x2-6x+9 som døme. Vi ser at det midtarste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til forma k-p2:

  1. Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

  2. Vi set k=x2=x og  p=9=3.

  3. Vi må sjekke om det midtarste leddet kan skrivast som 2kp. I dette tilfellet får vi at 2kp=2·x·3=6x, noko som stemmer med kravet.

  4. Krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, dermed har vi at

    x2-6x+9= k-p2=x-32

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket ax2+bx+c er eit fullstendig kvadrat:

  1. Vi sjekkar om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

  2. Vi set k=ax2=ax og p=c .

  3. Vi sjekkar om førstegradsleddet, bx , kan skrivast som 2kp = 2a·x·c=2ac·x.

  4. Dersom krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, har vi eit fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:

     ax2+bx+c=k+p2

Metoden med fullstendige kvadrat

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat av dei to første ledda og så bruke konjugatsetninga. Det er som oftast enklare å bruke andre metodar for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som eit grunnlag for å forstå meir om andregradsuttrykk, andregradslikningar og seinare òg likningar for sirklar og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom eit døme.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket x2+4x-5, som ikkje kan faktoriserast direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legg først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om dei to første ledda i uttrykket, x2+4x. Vi ønsker å finne ut kva vi må legge til for å få dette til å bli eit fullstendig kvadrat. Dette kallar vi å fullføre kvadratet.

Vi set k=x2=x. Det neste leddet, 4x, må då vere lik 2kp:

4x = 2kp 4x = 2·x·pp = 2

Dette betyr at vi må legge til p2=22=4 for å få eit fullstendig kvadrat. Men dersom vi legg noko til, aukar vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor trekke frå 4 òg for å behalde verdien slik han var:

x2+4x-5 =x2+4x+22Fullstendig kvadrat-4-5=x+22-9

Uttrykket x+22-9 kan vi kjenne igjen som den høgre sida av konjugatsetninga. Vi bruker igjen bokstavane k og p:

k-pk+p=k2-p2

Her får vi k=x+22=x+2 og p=9=3. Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

x2+4x-5 = x+22-32= x+2+3x+2-3= x+5x-1

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket ax2+bx+c ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrat:

  1. Vi set k=ax2=ax.

  2. Så set vi bx = 2kp = 2ax·p og reknar ut p.

  3. Vi legg til p2 for å fullføre kvadratet og trekker frå p2 igjen.

  4. Vi skriv dei tre første ledda som k+p2 og trekker saman konstantledda.

  5. Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetninga.


🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til x2=1, finn vi enkelt p2 ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøge dette talet i 2. Kan du forklare det?

Forklaring

I eit slikt tilfelle har vi at k=x. Vi set 2kp=2xp=bx og får at p=b2. Vi legg til

p2=b22 for å fullføre kvadratet. Dette kallar vi ofte "halver, kvadrer og adder". Men legg merke til at dette berre fungerer dersom a=1!