Video

Posisjonsvektor og vektor mellom punkt

Vi kan beskrive ein vektor mellom to punkt på koordinatform. Ein viktig type vektor er vektoren frå origo til eit kjent punkt.

Posisjonsvektor

Posisjonsvektor til punktet P med koordinatane 7 og 2 går frå origo til punktet P. Graf. — Posisjonsvektor

Vektoren frå origo $O (0, 0)$ til punktet $P (7, 2)$ har koordinatane
$\vec{O P} = 7 \cdot \vec{e_{x}} + 2 \cdot \vec{e_{y}} = [7, 2]$

Vi ser at koordinatane til vektoren er dei same som koordinatane til punktet, og $\vec{O P}$ blir derfor kalla for posisjonsvektoren til punktet $P$ .

Posisjonsvektoren til eit punkt er vektoren frå origo til punktet. Denne vektoren viser posisjonen til punktet i forhold til origo.

Posisjonsvektoren til eit punkt $(x, y)$ har koordinatane $[x, y]$ .

Å finne vektoren mellom to punkt

Posisjonsvektoren O A fra origo til punktet A med koordinatane 2 og 4 og posisjonsvektoren O B frå origo til punktet B med koordinatane 7 og 1 er teikna i same koordinatsystem. Vektoren A B frå punktet A til punktet B er også teikna inn. Illustrasjon.

Gitt punkta $A (2, 4)$ og $B (7, 1)$ .

Vektoren mellom punkta er teikna på figuren.

Vi skal finne koordinatane til vektoren som har utgangspunkt i $A$ og endepunkt i $B$ , $\vec{A B}$ .

Kan du lese av koordinatane på figuren til høgre?

Tips

Vi kan sjå at vi må gå 5 skritt i positiv x-retning og 3 skritt i negativ y-retning, altså har vi at vektoren har koordinatane $[5, - 3]$

Vi kan òg finne koordinatane ved «å gå ein omveg om origo» og bruke posisjonsvektorane til dei to punkta.

Vi har:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}, \vec{A O} = - \vec{O A} \\ \vec{A B} = - \vec{O A} + \vec{O B} \end{array}$

Vektoren frå punkt $A$ til punkt $B$ , $\vec{A B}$ kan altså uttrykkjast ved hjelp av posisjonsvektorane til punkta $A$ og $B$ . Litt rekning fører oss fram til koordinatforma til vektoren:

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{A O} + \vec{O B} = - \vec{O A} + \vec{O B} \\ = & \vec{O B} - \vec{O A} \\ = & [7, 1] - [2, 4] \\ = & [7 - 2, 1 - 4] \\ = & [5, - 3] \end{array}$

La no punkta $A$ og $B$ vere gitt som to generelle punkt i planet $A = (x_{1}, y_{1})$ og $B = (x_{2}, y_{2})$ . Også no kan $\vec{A B}$ uttrykkjast ved hjelp av posisjonsvektorane til punkta $A$ og $B$ .

På koordinatform får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{A O} + \vec{O B} \\ = & - \vec{O A} + \vec{O B} \\ = & \vec{O B} - \vec{O A} \\ = & [x_{2}, y_{2}] - [x_{1}, y_{1}] \\ = & [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}] \end{array}$

Gitt punkta $A (x_{1}, y_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2})$ .

Då er $\vec{A B} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$

Parallelle vektorar

Føresett at alle vektorane har lengde ulik frå null, gjeld:

$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = t \cdot \vec{b} t \in ℝ$

Vi kan bruke det vi no veit, til å undersøkje om to vektorar på koordinatform er parallelle. Vi minner om at $\vec{a} = [3, 4]$ og $\vec{b} = [6, 8]$ er parallelle.

$\begin{array}{l} 2 \cdot [3, 4] = [6, 8] \\ \vec{a} ∥ \vec{b} fordi 2 \cdot \vec{a} = \vec{b} \end{array}$

Video om posisjonsvektor

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om vektor mellom to punkt

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0