Standard normalfordeling

Vi innfører den kontinuerlige stokastiske variabelen $$ Z$$ som er normalfordelt med $$ \mu =0$$ og $$\begin{gathered} \sigma =1 \\ \end{gathered}$$. En slik fordeling kaller vi for standard normalfordeling. Tetthetsfunksjonen til en slik fordeling er gitt ved

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{x^2}{4}}$$

Vi har at den kumulative sannsynligheten, $$ P(Z\le z)$$, er lik arealet under grafen til $$ f\left(z\right)$$ fra minus uendelig til $$ z$$, det vil si at vi har

$$ P\left(Z\le z\right)={\int }_{-\infty }^{z}f\left(x\right)dx$$

For standard normalfordeling er det utarbeidet tabeller over de kumulative sannsynlighetene, noe som gjør at man kan finne sannsynligheter uten å regne ut integraler eller bruke digitale hjelpemidler. En tabell over sannsynlighetene i en standard normalfordelt variabel inneholder en skjematisk oversikt over de kumulative sannsynlighetene for $$ Z$$-verdier med en avstand på $$ 0,01$$. Det er vanlig å oppgi de kumulative sannsynlighetene mellom $$ -3,09$$ og $$ 3,09$$.

Vedlagt under finner du en versjon av tabellen som er hentet fra eksamenssettet i S2 våren 2023. Vi anbefaler at du laster den ned til datamaskinen din sånn at du alltid har den tilgjengelig for oppgaveløsning.

Et lite utdrag av tabellen ser slik ut:

Når vi skal bruke tabellen, må vi finne de to første sifrene i overskriftskolonnen til venstre og det tredje sifferet i overskriftsraden. Hvis vi skal finne $$ P\left(Z\le 0,22\right)$$, finner vi $$ \mathrm{0,2}$$ i kolonnen til venstre og $$ \mathrm{0,02}$$ i den øverste raden. Den tilhørende cella inneholder tallet $$ \mathrm{0,587} 1$$. Dette betyr at $$ P\left(Z\le 0,22\right)=0,587 1$$.

🤔 Tenk over: Hvordan finner vi sannsynligheten for at $$ Z$$ er større enn en gitt verdi, for eksempel $$ P\left(Z>0,44\right)$$?

Vi kan regne om alle normalfordelte variabler til en standard normalfordelt variabel $$ Z$$. Dette kan være nyttig fordi vi da kan finne sannsynligheter for hånd ved hjelp av tabellen. Dersom vi har en normalfordelt variabel $$ X$$ med forventningsverdi $$ \mu $$ og standardavvik $$ \sigma $$, kan vi skrive den om til den standard normalfordelte $$ Z$$ ved hjelp av formelen

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

🤔 Tenk over: Hvorfor blir forventningsverdien til $$ Z$$ lik 0 og standardavviket lik 1?

I oppgave 4.2.12 på oppgavesiden "Standard normalfordeling" skal du få vise ved regning at $$ \mu =0$$ og $$\begin{gathered} \sigma =1 \\ \end{gathered}$$ for en slik variabel.

Eksempel

På teorisiden om normalfordelingen bruker vi håndballspilleres høyde som eksempel. Den stokastiske variabelen $$ X$$ er høyden til en tilfeldig valgt håndballspiller i utvalget. Vi har at spillernes høyde er normalfordelt med $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$. Vi skal nå finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt av disse håndballspillerne er mer enn 194 cm, det vil si $$ P\left(X>194\right)$$, ved hjelp av omskriving til standard normalfordeling.

Vi får at

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{194-186}{8}=\frac{8}{8}=1$$

Dette betyr at $$ P\left(X>194\right)=P\left(Z>1\right)$$. Vi går inn i tabellen og finner at $$ P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$$.

$$ P\left(X>194\right)=P(Z>1)=1-P\left(Z\le 1\right)=1-0,841 3=0,158 7$$