Standard normalfordeling

Vi åpner tabellen.

Vi finner raden der vi har 1,5 i venstre kolonne. Så leser vi av tallet i kolonnen med 0,03 som overskrift og finner 0,937 0. Det betyr at

$$ P\left(Z\le 1,53\right)=0,937 0$$

Siden tabellen gir oss de kumulative sannsynlighetene, har vi at

$$ P\left(-0,3\le Z\le 0,75\right)=P\left(Z\le 0,75\right)-P\left(Z\le -0,3\right)$$

Vi går inn i tabellen og finner cella med radoverskrift $$ \mathrm{0,7}$$ og kolonneoverskrift $$ \mathrm{0,05}$$, og vi ser at $$ P\left(Z\le 0,75\right)=0,773 4$$. Tilsvarende finner vi cella med radoverskrift $$ \mathrm{-0,3}$$ og kolonneoverskrift $$ \mathrm{0,00}$$ og leser av $$ P\left(Z\le -0,3\right)=0,382 1$$. Dette gir oss at

$$ P\left(-0,3\le Z\le 0,75\right)=0,773 4-0,382 1=0,391 3$$

Vi leser av tabellen og finner at $$ P\left(Z\le 2\right)=0,977 2$$. Dette gir oss

$$ P\left(Z\ge 2\right)=1-P\left(Z\le 2\right)=1-0,977 2=0,022 8$$

Vi leser av tabellen og får at $$ $ P\left(Z\le -2\right)$=0,022 8$$.

Vi legger merke til at denne sannsynligheten er lik sannsynligheten i c). Dette er på grunn av at normalfordelingen er symmetrisk rundt forventningsverdien (som her er 0), og det er like sannsynlig at $$ Z$$ er større enn 2 som at $$ Z$$ er mindre enn $$ -2$$.

Vi leser av tabellen og får

$$ \begin{array}{rcl}P\left(-3<Z<3\right) & =& P\left(Z\le 3\right)-P\left(Z\le -3\right)\\ & =& 0,998 7-0,001 3 = 0,997 4\end{array}$$

Vi legger merke til at 99,74 % av observasjonene ligger innenfor tre standardavviks avstand fra forventningsverdien.

Vi leser av tabellen:

$$ $ P\left(Z\le 1\right)$=0,841 3$$

Vi har at

$$ $ P\left(Z>-1\right)$=1-P\left(Z\le -1\right)=1-0,158 7=0,841 3$$

Vi legger merke til at sannsynligheten er lik sannsynligheten i f). Dette er fordi det på grunn av symmetrien er like stor sannsynlighet for at en observasjon er mer enn ett standardavvik unna forventningsverdien i begge retninger. Dette gjelder for alle verdier, at $$ P\left(Z\le z\right)=1-P\left(Z\le -z\right)=P\left(Z>-z\right)$$. Vi kan altså alltid lese av $$ P\left(Z\le -z\right)$$ dersom oppgaven ber om $$ P\left(Z>z\right)$$.

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}P\left(-1\le Z\le 1\right) & =& P\left(Z\le 1\right)-P\left(Z\le -1\right)\\ & =& 0,841 3-0,158 7=0,682 6\end{array}$$

Dette kunne vi ha svart på også uten å regne ut, siden vi vet at i en normalfordeling vil 68,26 % av observasjonene ligge innenfor ett standardavviks avstand.

I en standard normalfordeling har vi at $$ \mu =0$$ og $$ \sigma =1$$.

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-{\left(\frac{x-\mu }{2·\sigma }\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{1·\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-{\left(\frac{x-0}{2}\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-\frac{x^2}{4}} \end{array}$$

$$ E\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=E\left(\frac{1}{\sigma }X-\frac{\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{\sigma }·\mu -\frac{\mu }{\sigma }=0$$

$$ Var\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=Var\left(\frac{1}{\sigma }X-\frac{\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{{\sigma }^2}Var\left(X\right)={\left(\frac{1}{\sigma }\right)}^2·{\sigma }^2=1$$

$$ SD\left(Z\right)=\sqrt{1}=1$$

Vi skal finne $$ P\left(X\le 173\right)$$. Vi regner om til standard normalfordeling:

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{173-167}{6}=\frac{6}{6}=1$$

Vi leser av tabellen og finner at

$$ P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$$

Dette gir at $$ P\left(X\le 173\right)=0,841 3$$.

Vi skal regne ut $$ P\left(X>161\right)=1-P\left(X\le 161\right)$$.

Vi regner igjen om til standard normalfordeling:

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{161-167}{6}=\frac{-6}{6}=-1$$

Vi leser av tabellen og finner at $$ P\left(Z\le -1\right)=0,158 7$$.

Dette gir at

$$ P\left(X>161\right)=1-P\left(Z\le -1\right)=1-0,158 7=0,841 3$$

Vi ser at sannsynligheten for å være høyere enn 161 cm og sannsynligheten for å være lavere enn 173 cm er den samme. Vi legger merke til at det er ett standardavvik unna forventningsverdien i hver sin retning.

Vi har at

$$ P\left(161\le X\le 173\right)=P\left(-1\le Z\le 1\right)=0,841 3-0,158 7=0,682 6$$

Vi ser at sannsynligheten er 0,682 6. Dette stemmer med at det skal være 68,26 % av observasjonene som ligger innenfor ett standardavviks avstand fra forventningsverdien.

Vi har at $$ \sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=\sqrt{64}=8$$. Vi regner om til standard normalfordeling:

$$ Z=\frac{4-2}{8}=\frac{2}{8}=0,25$$

Dette gir

$$ P\left(Y\le 4\right)=P\left(Z\le 0,25\right)=0,598 7$$

Vi regner om til standard normalfordeling:

$$ \begin{array}{rcl}{z}_1 & =& \frac{3-2}{8}=\frac{1}{8}=0,125\approx 0,13\\ z_2 & =& \frac{5-2}{8}=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38\end{array}$$

Vi runder av til to desimaler fordi det er denne nøyaktigheten tabellen har.

Dette gir at

$$ \begin{array}{rcl}P\left(3<Y<5\right) & =& P\left(0,13<Z<0,38\right)\\ & =& P\left(Z\le 0,38\right)-P\left(Z\le 0,13\right)\\ & =& 0,648 0-0,551 7\\ & =& 0,096 3\end{array}$$

Vi finner de to tilhørende $$ z$$-verdiene:

$$ \begin{array}{rcl}P\left(Z\le z\right) & =& 0,366 9 \Rightarrow z_1=-0,34\\ P\left(Z>z\right) & =& 0,308 5 \Rightarrow 1-P\left(Z\le z_2\right)=0,308 5\\ & \Rightarrow & P\left(Z\le z_2\right)=0,691 5 \Rightarrow z_2 =0,5\end{array}$$

Så lager vi et likningssystem:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{0,96-\mu }{\sigma } & =& -0,34\\ \frac{6-\mu }{\sigma } & =& 0,5\end{array}$$

Vi løser likningssystemet:

$$ \begin{array}{rcl}0,96-\mu & =& -0,34\sigma \\ 6-\mu & =& 0,5\sigma \\ & & \\ 5,04 & =& 0,84\sigma \\ \sigma & =& \frac{5,04}{0,84}=6\\ & & \\ 6-\mu & =& 0,5·6\\ \mu & =& 3\end{array}$$

Vi får at $$ \mu =3$$ og $$ \sigma =6$$.

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}$ P\left(22<X<42\right) $& =& 1-P\left(X\le 22\right)-P\left(X>42\right)\\ & =& 1-2·0,106=1-0,212\\ & =& 0,788\end{array}$$

Siden $$ P\left(X\le 22\right)=P\left(X>42\right)$$, har vi at forventningsverdien må ligge midt mellom disse to verdiene. Vi får at

$$ \mu =\frac{42+22}{2}=32$$

Vi bruker én av verdiene vi kjenner, og setter opp en likning. Vi velger $$ x=22$$.

Først finner vi $$ z$$-verdien som er slik at $$ P\left(X\le 22\right)=P\left(Z\le z\right)=0,106$$. Fra tabellen får vi at $$ z=-1,25$$.

Vi får følgende likning:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x-\mu }{\sigma } & =& z\\ \frac{22-32}{\sigma } & =& -1,25\\ -1,25\sigma & =& -10\\ \sigma & =& 8\end{array}$$

Vi har at standardavviket er lik 8.