Areal og omkrets av plane figurer

I 1P har du regnet med ulike måleenheter for lengde og areal. Hvis du trenger å repetere noe av dette, finner du lenker til artiklene nederst på sida.

I overskriften står det at vi skal regne med areal og omkrets av plane figurer. Vet du hva en plan figur er?

Omkretsen av en plan figur kan vi si er det samme som "veien rundt figuren". Hvis vi har med enkle mangekanter å gjøre, summerer vi lengdene til sidekantene.

Vi vil se på et eksempel med en sammensatt figur.

Først tenker vi etter hvilke sider som skal være med i omkretsen. Hvilke er det?

Vi ser at siden firkanten $$ ABCD$$ er et rektangel, må vi ha

$ED=AB$

og

$AE=BD=BF+FD$

Vi bruker den rettvinklede trekanten $$ BFC$$ og finner $$ BC$$ ved hjelp av Pytagoras' setning:

$$ \begin{array}{rcl}B{C}^2 & =& F{C}^2+B{F}^2\\ & =& 2,0^2+2,0^2\\ & =& 8,0\\ BC & =& \sqrt{8,0}\\ & =& 2,82\approx 2,8\end{array}$$

Til slutt må vi finne lengden av sirkelbuen mellom C og D. For å finne lengden til sirkelbuen, trenger vi diameteren $$ CD$$:

$$ $ \begin{array}{rcl}C{D}^2 & =& F{C}^2+D{F}^2\\ & =& 2,0^2+1,0^2\\ & =& 5,0\\ CD & =& \sqrt{5,0}\\ & =& 2,23\approx 2,2\\ & & \end{array}$$$

Lengden av halvsirkelbuen $$ CD$$ blir da

$$ \begin{array}{rcl}CD & =& \frac{2,2·\mathrm{\pi }}{2}\\ & =& 1,1·\mathrm{\pi }\\ & =& 3,45\approx 3,5\end{array}$$

Nå finner vi omkretsen av hele figuren:

$$ \begin{array}{rcl}{O}_{ABCDE} & =& AB+BC+CD+DE+AE\\ & =& 2,0\mathrm{cm}+2,8\mathrm{cm}+3,5\mathrm{cm}+2,0\mathrm{cm}+3,0\mathrm{cm}\\ & =& 13,3\mathrm{cm}\end{array}$$

Arealet av et rektangel

I et rektangel som er $5$ cm langt og $3$ cm høyt, kan vi få plass til  $3·5=15$  kvadrater som hver har et areal på $1$ cm². Det betyr at arealet er på $15$ cm².

Vi kan altså finne arealet til et rektangel ved å multiplisere grunnlinja med høyden. Vi kan også si at vi multipliserer lengden med bredden.

Vi får en formel for arealet til et rektangel:

$A=g·h$

Arealet av andre figurer

Vi kan også lage formler for arealet av andre figurer.

På figuren kan du sammenligne arealet til rektangelet med grunnlinja $g$ og høyden $h$ med arealet til trekanten med grunnlinja $g$ og høyden $h$.

Kan du forklare at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten?

Siden arealet til rektangelet kan finnes ved å multiplisere grunnlinja med høyden,  $A\left(\mathrm{rektangel}\right)=g·h$, er arealet til trekanten

$$ A\left(\mathrm{trekant}\right)=\frac{g·h}{2}$$

Hva med parallellogram, rombe og trapes?

Du kan nå ta for deg et parallellogram, en rombe og et trapes og se om du kan lage arealformler for disse figurene på den samme måten som for trekanter. Du kan sammenligne formlene dine med formlene i skjemaet nedenfor.

Arealformel for sirkel

Det er ikke så lett å gjøre en sirkel om til et rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel en brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren.

Vi deler sirkelen inn i like sektorer. Så stiller vi sektorene annenhver opp og ned, slik at sektorene tilnærmet blir et parallellogram med grunnlinje tilnærmet lik  $\frac{2\pi r}{2}=\pi r$  og høyde lik $r$. Arealet blir da tilnærmet  $A=\pi r·r=\pi r^2$.

Jo flere sektorer vi deler sirkelen inn i, jo bedre blir tilnærmingen. Hvis vi deler sirkelen i veldig mange sektorer, får vi tilnærmet et rektangel.

Areal av sammensatte figurer

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Når vi skal regne arealet av en sammensatt figur, må vi først dele opp figuren i hensiktsmessige deler. Vi ser på den samme sammensatte figuren som vi fant omkretsen til. Hvordan vil du dele opp denne figuren for å finne arealet?

Vi finner de tre arealene og legger dem sammen. Vi bruker målene vi fant lenger oppe:

$$ \begin{array}{rcl}{A}_{ABDE} & =& 3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}\\ & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{BCD} & =& \frac{3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}}{2}\\ & =& 3,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{CD} & =& \frac{\mathrm{\pi }·{\left(1,1\mathrm{cm}\right)}^2}{2}\\ & =& 1,90{\mathrm{cm}}^2\approx 1,9{\mathrm{cm}}^2\\ A_{ABCDE} & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2 + 3,0{\mathrm{cm}}^2 + 1,9 {\mathrm{cm}}^2\\ & =& 10,9{\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Her har vi samlet formlene i en tabell: