Gitt funksjonen f x = x - 1 x - 2 .
a) Fyll ut resten av verditabellen.
x 0 1 1 , 5 1 , 9 1 , 99 2 , 01 2 , 1 2 , 5 3 4 5 f ( x ) 1 2 0 101 11 3 2 3 2
Løsning x 0 1 1 , 5 1 , 9 1 , 99 2 , 01 2 , 1 2 , 5 3 4 5 f ( x ) 1 2 0 - 1 - 9 - 99 101 11 3 2 3 2 4 3
b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg 2 fra venstre.
Løsning Når x -verdien nærmer seg 2 fra venstre, går funksjonsverdien mot minus uendelig.
c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg 2 fra høyre.
Løsning Når x nærmer seg 2 fra høyre, går funksjonsverdien mot pluss uendelig.
d) Tegn grafen til funksjonen f .
Løsning Grafen til funksjonen f :
e) Tegn inn linja x = 2 i det samme koordinatsystemet som grafen til f . Hva kalles denne linja?
Løsning Linja x = 2 kalles vertikal asymptote.
Gitt funksjonen f x = x - 1 x .
a) Fyll ut resten av tabellen.
x - 1000 - 100 - 10 - 1 0 , 5 1 10 100 1000 f ( x ) 1 , 01 0 , 9
Løsning x - 1000 - 100 - 10 - 1 0 , 5 1 10 100 1000 f ( x ) 1 1 , 01 1 , 1 2 - 1 0 0 , 9 0 , 99 1
b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg - ∞ .
Løsning Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x -verdien nærmer seg - ∞ .
c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg ∞ .
Løsning Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x -verdien nærmer seg ∞ .
d) Tegn grafen til funksjonen f .
Løsning Grafen til funksjonen f :
e) Tegn inn linja y =1 i det samme koordinatsystemet som grafen til f . Hva kalles denne linja?
Løsning Linja y =1 kalles horisontal asymptote.
Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Lag deretter ei skisse av grafen til funksjonen.
a) f x = 2 x - 2
Løsning Vertikal asymptote:
Nevneren er lik 0 når x = 2 . Telleren er ikke 0.
Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 2 f x = ± ∞
Linja x =2 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ 2 x - 2 = lim x → ± ∞ 2 x x x - 2 x = 0 1 - 0 = 0
Når x går mot ± ∞ , vil grafen til f nærme seg x -aksen. Linja y = 0 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
b) f x = x - 1 x - 2
Løsning Vertikal asymptote:
Nevneren er lik 0 når x = 2 . Telleren er ikke 0.
Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 2 f x = ± ∞
Linja x =2 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ x - 1 x - 2 = lim x → ± ∞ x x - 1 x x x - 2 x = 1 - 0 1 - 0 = 1
Når x går mot ± ∞ , vil grafen til f nærme seg linja y = 1 .
Linja y = 1 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
c) f x = x 2 + 4 x - 2
Løsning Vertikal asymptote:
Nevneren er lik 0 når x = 2 . Telleren er ikke 0.
Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 2 f x = ± ∞
Linja x =2 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ x 2 + 4 x - 2 = lim x → ± ∞ x 2 x 2 + 4 x 2 x x 2 - 2 x 2 = lim x → ± ∞ 1 + 0 1 x - 0 = 1 0
Når x går mot ± ∞ , vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote.
Grafen til f :
d) f x = 3 x - 1 x
Løsning Vertikal asymptote:
Nevneren er lik 0 når x = 0 . Telleren er ikke 0.
Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 2 f x = ± ∞
Linja x = 0 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ 3 x - 1 x = lim x → ± ∞ 3 x x - 1 x x x = 3 - 0 1 = 3
Når x går mot ± ∞ , vil grafen til f nærme seg linja y = 3 .
Linja y = 3 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Tegn deretter grafen til funksjonen.
a) f x = 2 x 2 x 2 - 2
Løsning f x = 2 x 2 x 2 - 2
Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren.
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x = ± 2
Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først x = 2 . Når x = 2 , blir telleren 2 · ( 2 ) 2 = 4 . Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.
f ( x ) = ± ∞ når x → 2 . Linja x = 2 er en vertikal asymptote for f .
Vi undersøker så for x = - 2 . Når x = - 2 , blir telleren 2 · - 2 2 = 4 . Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.
f ( x ) → ± ∞ når x → - 2 . Linja x = - 2 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ 2 x 2 x 2 - 2 = lim x → ± ∞ 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 2 x 2 = 2 1 - 0 = 3 1 = 2
Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja y = 2 .
Linja y = 2 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
b) f x = x 2 - 2 x + 4 x 2 - 2 x
Løsning f x = x 2 - 2 x + 4 x 2 - 2 x
Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren.
x 2 - 2 x = 0 x ( x - 2 ) = 0 x = 0 ∨ x = 2
Det er to mulige asymptoter. Vi undersøker først x = 0 . Når x = 0 , blir telleren 0 2 - 2 · 0 + 4 = 4 .
Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 0 f x = ± ∞
Linja x = 0 er en vertikal asymptote for f .
Vi undersøker så for x = 2 .
Når x = 2 , blir telleren 2 2 - 2 · 2 + 4 = 4 .
Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 2 f x = ± ∞
Linja x = 2 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ x 2 - 2 x + 4 x 2 - 2 x = lim x → ± ∞ x 2 x 2 - 2 x x 2 + 4 x 2 x 2 x 2 - 2 x x 2 = lim x → ± ∞ 1 - 2 x + 4 x 2 1 - 2 x = 1 - 0 + 0 1 - 0 = 1
Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja y = 1 .
Linja y = 1 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
c) f x = x 3 - 9 x 3
Løsning f x = x 3 - 9 x 3
Vertikal asymptote:
Nevneren er lik 0 når x = 0 . Telleren blir ikke 0.
Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 0 f x = ± ∞
Linja x = 0 er en vertikal asymptote for f .
Horisontal asymptote:
lim f x x → ± ∞ = lim x → ± ∞ x 3 - 9 x 3 = lim x → ± ∞ x 3 x 3 - 9 x 3 x 3 x 3 = 1 - 0 1 = 1
Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja y = 1 .
Linja y = 1 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :
d) f x = x - 2 x 2 - 2 x
Løsning fx=x-2x2-2x
Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren.
x 2 - 2 x = 0 x ( x - 2 ) = 0 x = 0 ∨ x = 2
Her er det to mulige asymptoter. Vi undersøker først x = 0 . Når x = 0 , blir telleren 0 - 2 = - 2 . Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.
lim x → 0 f x = ± ∞
Linja x = 0 er en vertikal asymptote for f .
Vi undersøker så for x = 2 . Siden nevneren er 0, er ikke brøken definert.
Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.
lim f x x → 2 = lim f x x → 2 x - 2 x 2 - 2 x = lim f x x → 2 x - 2 x ( x - 2 ) = lim x → 2 1 x = 1 2
Horisontal asymptote:
lim x → ± ∞ f x = lim x → ± ∞ x - 2 x 2 - 2 x = lim x → ± ∞ x x 2 - 2 x 2 x 2 x 2 - 2 x x 2 = lim x → ± ∞ 1 x - 2 x 2 1 - 2 x = 0 - 0 1 - 0 = 0
Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja til y = 0 . Linja y = 0 er en horisontal asymptote for f .
Grafen til f :