Hopp til innhold
Oppgave

Rasjonale funksjoner og asymptoter

Øv deg på å finne vertikale og horisontale asymptoter ved regning, og tegn deretter grafen med digitale verktøy.

2.1.40

Gitt funksjonen  fx=x-1x-2.

a) Fyll ut resten av verditabellen.

x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120101113232

Løsning

x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120-1-9-9910111323243

b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmer seg 2 fra venstre.

Løsning

Når x-verdien nærmer seg 2 fra venstre, går funksjonsverdien mot minus uendelig.

c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmer seg 2 fra høyre.

Løsning

Når x nærmer seg 2 fra høyre, går funksjonsverdien mot pluss uendelig.

d) Tegn grafen til funksjonen f.

Løsning

Grafen til funksjonen f:

e) Tegn inn linja  x=2  i det samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja?

Løsning

Linja  x=2  kalles vertikal asymptote.

2.1.41


Gitt funksjonen  fx=x-1x.

a) Fyll ut resten av tabellen.

x-1000-100-10-10,51101001000f(x)1,010,9

Løsning

x-1000-100-10-10,51101001000f(x)11,011,12-100,90,991

b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmer seg -.

Løsning

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x-verdien nærmer seg -.

c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmer seg .

Løsning

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x-verdien nærmer seg .

d) Tegn grafen til funksjonen f.

Løsning

Grafen til funksjonen f:

e) Tegn inn linja  y=1  i det samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja?

Løsning

Linja  y=1  kalles horisontal asymptote.

2.1.42

Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Lag deretter ei skisse av grafen til funksjonen.

a)  fx=2x-2

Løsning

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  x=2. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

limx2fx=±

Linja  x=2  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±2x-2=limx±2xxx-2x=01-0=0

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg x-aksen. Linja  y=0  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

b)  fx=x-1x-2

Løsning

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  x=2. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

limx2fx=±

Linja  x=2  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x-1x-2=limx±xx-1xxx-2x=1-01-0=1

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

c)  fx=x2+4x-2

Løsning

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  x=2. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

limx2fx=±

Linja  x=2  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x2+4x-2 =limx±x2x2+4x2xx2-2x2=limx±1+01x-0=10

Når x går mot ±, vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote.

Grafen til f:

d)  fx=3x-1x

Løsning

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  x=0. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

limx2fx=±

Linja  x=0  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±3x-1x=limx±3xx-1xxx=3-01=3

Når x går mot ±, vil grafen til f nærme seg linja  y=3.

Linja  y=3  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

2.1.43

Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Tegn deretter grafen til funksjonen.

a)  fx=2x2x2-2

Løsning

fx=2x2x2-2

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

x2-2 = 0x2 = 2x = ±2

Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først  x=2. Når  x=2, blir telleren  2·(2)2=4. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

f(x)=±  når  x2. Linja  x=2  er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for  x=-2. Når  x=-2, blir telleren  2·-22=4. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

f(x)± når x-2. Linja  x=-2  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

lim x±fx=limx±2x2x2-2=limx±2x2x2x2x2-2x2=21-0=31=2

Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja  y = 2.

Linja  y = 2  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

b)  fx=x2-2x+4x2-2x

Løsning

fx=x2-2x+4x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0 x = 2

Det er to mulige asymptoter. Vi undersøker først  x=0. Når  x=0, blir telleren  02-2·0+4=4.

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

limx0fx=±

Linja  x=0  er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for  x=2.

Når  x=2, blir telleren  22-2·2+4=4.

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

lim x2fx=±

Linja  x=2  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x2-2x+4x2-2x=limx±x2x2-2xx2+4x2x2x2-2xx2=limx±1-2x+4x21-2x=1-0+01-0=1

Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

c)  fx=x3-9x3

Løsning

fx=x3-9x3

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  x=0. Telleren blir ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

limx0fx=±

Linja  x=0  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

lim fxx±=lim x±x3-9x3=lim x±x3x3-9x3x3x3=1-01=1

Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja  y=1.

Linja  y=1  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f:

d)  fx=x-2x2-2x

Løsning

fx=x-2x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0  x = 2

Her er det to mulige asymptoter. Vi undersøker først  x=0. Når  x=0, blir telleren  0-2=-2. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

limx0fx=±

Linja  x=0  er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for  x=2. Siden nevneren er 0, er ikke brøken definert.

Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.

limfxx2=limfxx2x-2x2-2x=limfxx2x-2x(x-2)=limx21x=12

Horisontal asymptote:

limx±fx=limx±x-2x2-2x=limx±xx2-2x2x2x2-2xx2=limx±1x-2x21-2x=0-01-0=0

Når x går mot ± uendelig, vil grafen til f nærme seg linja til  y=0. Linja  y=0  er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f: