Subject Material

Kvadratsetningene

Kvadratsetningene er svært sentrale i algebra.

Generelt har vi at

$\begin{matrix} (a + b) \cdot (c + d) = a c + a d + b c + b d \end{matrix}$

Hvordan blir resultatet dersom parentesuttrykkene er like eller nesten like?

Før du leser videre, kan du prøve selv å regne ut uttrykkene nedenfor og se om du kan finne en forenklet måte å regne ut slike uttrykk på.

$(a + b) (a + b) = \begin{matrix} \end{matrix} (a - b) (a - b) = \begin{matrix} \end{matrix} (a + b) (a - b) =$

Når vi multipliserer $(a + b)$ med seg selv, får vi kvadratet ${(a + b)}^{2}$

$\begin{array}{rcl} {(a + b)}^{2} & = & (a + b) \cdot (a + b) \\ = & a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \\ = & a^{2} + a b + a b + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi to like ledd, $a b + a b$ , som vi slår sammen til $2 a b$ .

Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovenfor med sidelengder $a + b$ er lik summen av arealene av de to like store lyse rektanglene og de to mørke kvadratene.

Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetningen.

Første kvadratsetning

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Vi multipliserer videre $(a - b)$ med seg selv og får kvadratet ${(a - b)}^{2}$ .

$\begin{array}{rcl} {(a - b)}^{2} & = & (a - b) \cdot (a - b) \\ = & a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b \\ = & a^{2} - a b - a b + b^{2} \\ = & a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{array}$

Her får vi to like ledd, $- a b - a b$ , som vi slår sammen til $- 2 a b$ .

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk hvis vi tar utgangspunkt i et kvadrat med sider $a$ ?

Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetningen.

Andre kvadratsetning

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Vi multipliserer så $(a + b)$ med $(a - b)$ .

$\begin{array}{rcl} (a + b) \cdot (a - b) & = & a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b \\ (a + b) \cdot (a - b) & = & a^{2} - a b + a b - b^{2} \\ (a + b) \cdot (a - b) & = & a^{2} - b^{2} \end{array}$

Her får vi leddene $a b$ og $- a b$ , som til sammen blir lik null og faller bort.

Ser du at vi kan illustrere dette også geometrisk ved å starte med et kvadrat med sidekanter $a$ ?

$a^{2} - b^{2}$ tilsvarer det lyse området i den første figuren nedenfor.

Hvis vi så tenker oss at vi flytter rektangelet som er merket med en stjerne, ser vi at det lyse området også tilsvarer $(a + b) (a - b)$ .

Dette resultatet er kjent som konjugatsetningen eller også som den tredje kvadratsetningen.

Konjugatsetningen (Tredje kvadratsetning)

$(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Lær deg kvadratsetningene! Det er lett å falle for fristelsen til å la være å pugge kvadratsetningene og heller multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Det vil ikke være særlig lurt.

Kvadratsetningene er nemlig spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og da må du bruke dem «motsatt vei».

Eksempel på bruk av kvadratsetningene

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} 4 {(x + 2)}^{2} & + & {(2 x - 3)}^{2} - 3 (x - 2) (x + 2) \end{array} \\ = & 4 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2}) - 3 (x^{2} - 2^{2}) \\ = & 4 (x^{2} + 4 x + 4) + (4 x^{2} - 12 x + 9) - 3 (x^{2} - 4) \\ = & (4 x^{2} + 16 x + 16) + (4 x^{2} - 12 x + 9) - (3 x^{2} - 12) \\ = & 4 x^{2} + 16 x + 16 + 4 x^{2} - 12 x + 9 - 3 x^{2} + 12 \\ = & 5 x^{2} + 4 x + 37 \end{array}$

Regne med kvadratsetningene i Geogebra. Bilde.

Ved CAS i GeoGebra

CC BY-SAWritten by: Olav Kristensen and Stein Aanensen.

Last revised date 05/01/2018

Kvadratsetningene

Første kvadratsetning

Andre kvadratsetning

Konjugatsetningen (Tredje kvadratsetning)

Eksempel på bruk av kvadratsetningene

Cite or use