Task

Koordinatsystemet

Øv på å bruke koordinatsystemer her. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Marker punktene $(1, 1), (- 1, - 2), (2, - 3), (3, 0)$ og $(0, - 2)$ i et koordinatsystem på papiret og i GeoGebra.

Løsning

For å få for eksempel punktet $(- 1, - 2)$ i et koordinatsystem i GeoGebra skriver du (-1,-2) inn i algebrafeltet og trykker enter.

Fem punkter i et koordinatsystem. Koordinatene til punktene er skrevet inn. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Oppgave 2

Nedenfor er det tegnet 9 punkter inn i et koordinatsystem.

Ni punkter A, B, C, D, E, F, G, H og I er tegnet i et koordinatsystem. Illustrasjon.

Skriv opp koordinatene for punktene $A, B, C, D, E, F, G, H$ og $I$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} A (- 4, 3), B (- 1, 4), \\ C (0, 2), D (- 4, - 1), \\ E (- 1, 0), F (3, - 1), \\ G (0, - 4), H (4, 4), \\ I (4, 0) \end{array}$

Oppgave 3

a) Tegn fire punkter $A, B, C$ og $D$ i et koordinatsystem slik at arealet av rektangelet $A B C D$ blir 16. Skriv ned koordinatene til punktene.

Løsning

Et kvadrat og et rektangel er tegnet i et koordinatsystem. Hjørnene i kvadratet har koordinatene 1 og 5, koordinatene 5 og 5, koordinatene 1 og 1 og koordinatene 5 og 1. Hjørnene i rektangelet har koordinatene 7 og 4, koordinatene 15 og 4, koordinatene 7 og 2 og koordinatene 15 og 2. Illustrasjon.

Her er det mange muligheter. Det ene eksempelet er et kvadrat med sidelengder 4. (Husk at et kvadrat også er et rektangel fordi det oppfyller kravene til å være et rektangel.)

Arealet av kvadratet blir $4 \cdot 4 = 16$ .

Det andre eksempelet viser et rektangel med sidelengder 8 og 2.

Arealet blir $8 \cdot 2 = 16$ .

b) Tegn tre punkter $A, B$ og $C$ i et koordinatsystem slik at arealet av trekant $A B C$ blir 12. Skriv ned koordinatene til punktene.

Løsning

En trekant er tegnet i et koordinatsystem. Hjørnene i trekanten har koordinatene 1 og 1, koordinatene 7 og 1 og koordinatene 7 og 5. Illustrasjon.

Eksempelet viser en rettvinklet trekant med grunnlinje 6 og høyde 4. Arealet vil da bli $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . Vi kan godt endre $x$ -koordinaten til punktet med koordinater $(7, 5)$ uten at arealet blir endret (hvorfor?).

En trekant der hjørnene har koordinatene $(1, 1), (1, 13)$ og for eksempel $(1, 3)$ , vil også ha areal lik 12.

Oppgave 4

Du og familien din er på ferie og vil leie en bil. Dere må betale en fastpris på 650 kroner. I tillegg må dere betale 6,20 kroner per kilometer dere kjører.

a) Regn ut kostnadene for 5 turer med ulik lengde, for eksempel en tur på 50 km, på 100 km og så videre. Sett opp resultatene i en tabell.

Tips til oppgaven

For å regne ut prisen for bilen må vi multiplisere kjørelengden med prisen per km og legge til fastprisen.

Løsning

Vi velger 5 kjørelengder, fra 50 km og opp til 250 km. Dersom kjørelengden er 50 km, blir prisen

$50 km \cdot 6, 20 kr / km + 650 kr = 960 kr$

Ved å gjøre tilsvarende utregninger får vi tabellen nedenfor.

Kostnader for leiebil
Kjørelengde (km)	Leiepris (kr)
50	960
100	1 270
150	1 580
200	1 890
250	2 200

b) Bruk resultatene fra a) til å lage en grafisk framstilling i et koordinatsystem.

Tips til oppgaven

Du kan tegne punktene fra tabellen i et koordinatsystem på papiret, men her er det nok enklest å bruke GeoGebra.

Løsning

Vi kaller kjørelengden for $x$ og leieprisen $y$ . Vi skriver inn verdiene fra tabellen som punkter i algebrafeltet i GeoGebra. Etterpå bruker vi verktøyet "Linje" til å lage ei rett linje mellom punktet lengst til venstre og punktet lengst til høyre. Dersom du tegner på papiret, legger du linjalen slik at den passer best mulig med punktene, og tegner linja.

Illustrasjon som viser kostnadene y i kroner for leiebilen som funksjon av kjørelengden x i kilometer. Punktene med koordinatene 50 og 960, 100 og 1270, 150 og 1580, 200 og 1890 og til slutt 250 og 2200 er tegnet inn. Punktene ligger på den samme rette linja. Illustrasjon.

c) Bruk grafen og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil.

Løsning

Det koster cirka 1 750 kroner å kjøre 18 mil (180 kilometer).

d) Dersom du har ett av fagene 1P eller 2P-Y: Forklar hvorfor kjørelengden og leieprisen ikke er proporsjonale størrelser. Hva er det som ødelegger for proporsjonaliteten?

Løsning

Grafen som viser sammenhengen mellom kjørelengden og leieprisen, er ei rett linje, men den går ikke gjennom origo. Da dobles ikke leieprisen om kjørelengden dobles, og de to størrelsene er ikke proporsjonale.

Det er fastprisen på 650 kroner som ødelegger for proporsjonaliteten. Uten den ville det ha vært et fast forhold på 6,20 kr/km mellom pris og kjørelengde.

Oppgave 5

Camilla hadde på 2000-tallet et mobilabonnement der hun betalte 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt.

a) Fyll ut tabellen nedenfor.

Samtalekostnader
Samtaletid (min)	Samtalekostnader (kr)
50
100
150

Løsning

Samtalekostnader
Samtaletid (min)	Samtalekostnader (kr)
50	123,50
100	148,00
150	172,50

b) Bruk resultatene fra a) til å lage en grafisk framstilling i et koordinatsystem.

Løsning

Koordinatsystem som viser samtalekostnadene y i kroner for bruk av telefonen som funksjon av samtaletiden x i minutter. Punktene med koordinatene 50 og 123,5, 100 og 148 og 150 og 172,5 er tegnet inn. Punktene ligger på den samme rette linja. Illustrasjon.

c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Løsning

Vi leser ut fra grafen at hun har ringt i cirka 125 minutter når kostnadene er 160 kroner.

d) Dersom du har ett av fagene 1P eller 2P-Y: Er samtaletida og samtalekostnadene proporsjonale størrelser?

Løsning

Grafen som viser sammenhengen mellom samtaletida og samtalekostnadene, er ei rett linje, men den går ikke gjennom origo. Da dobles ikke samtalekostnadene om samtaletiden dobles, og de to størrelsene er ikke proporsjonale.

Årsaken er den faste månedlige kostnaden på 99 kroner. Matematisk kan vi kalle dette et konstantledd.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Files

Koordinatsystemet(DOCX)
Koordinatsystemet(PDF)

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer

Files

Rules for use of text "Koordinatsystemet"