Volum og overflate av pyramider

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Bengt af Geijerstam

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Når grunnflaten i en pyramide er en trekant, sier vi at vi har en trekantet pyramide. Når grunnflaten er en firkant, sier vi at vi har en firkantet pyramide.

Pyramiden er rett når høyden fra toppunktet treffer sentrum i grunnflaten.

Volumet av en pyramide vil alltid være $\frac{1}{3}$ av volumet av et rett prisme med samme grunnflate og høyde.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

For å finne overflaten til for eksempel en rett firkantet pyramide, kan det være til hjelp å tenke seg pyramiden klippet opp og brettet ut slik figuren viser.

Overflaten er summen av arealene til firkanten og de fire trekantene.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Regn ut volum og overflate av en firkantet pyramide der grunnflaten er et kvadrat med sider 3,0 cm og høyden er 5,0 cm.

$\begin{array}{rcl}V& = & \frac{G·h}{3}\\ & & \\ & =& \frac{3,0 \mathrm{cm}·3,0 \mathrm{cm}·5,0 \mathrm{cm}}{3}\\ & & \\ & =& 15 {\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Når vi skal regne ut overflaten, må vi finne arealet av de fire trekantene (sideflatene) i pyramiden.

For å regne ut arealet av disse trekantene, må vi finne høyden, $a$.

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi bruker Pytagoras’ setning

Open image in new window

CC BY-NC-SA

Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi kan da regne ut overflaten

$O=40 {\mathrm{cm}}^2$

Merk at vi her har lagt inn "cm" som en variabel i CAS-verktøyet. Vi behøver ikke å gjøre det, men da ser vi at vi kommer ut med riktig benevning siden $\mathrm{cm}·\mathrm{cm}={\mathrm{cm}}^2$. Regnestykket skal stemme også når benevningen er med.