Task

Overflate av omdreiningslegemer

Omdreiningslegemer er romfigurer som kan beskrives matematisk, og de framkommer ved rotasjon av en graf. Vi kan bruke integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer, og her skal vi øve på å beregne overflater. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

I oppgave 1 på oppgavesiden "Omdreiningslegemer" beregner vi volumet til fire omdreiningslegemer.

Du skal nå beregne overflatearealet til de samme omdreiningslegemene ved hjelp av integrasjon. Overflatene i de tre første deloppgavene skal du beregne uten digitale hjelpemidler, mens overflaten i oppgave d) skal du beregne ved hjelp av CAS.

a) $f (x) = 2, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2, x \in [0, 4] \\ f^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot \sqrt{1 + {(0)}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} 2 d x \\ = & 2 π {[2 x]}_{0}^{4} \\ = & 2 π \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 0) \\ = & 16 π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som en sylinder, er $16 π$ .

b) $g (x) = x, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x, x \in [0, 4] \\ g^{'} (x) & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} g (x) \cdot \sqrt{1 + {(g^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} x \cdot \sqrt{1 + {(1)}^{2}} d x \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot \int_{0}^{4} x d x \\ = & 2 \sqrt{2} π {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{4} \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 0) \\ = & 16 \sqrt{2} π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei kjegle, er $\begin{array}{rcl} 16 \sqrt{2} π \end{array}$ .

c) $h (x) = x + 1, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & x + 1, x \in [0, 4] \\ h^{'} (x) & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} h (x) \cdot \sqrt{1 + {(h^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} (x + 1) \cdot \sqrt{1 + {(1)}^{2}} d x \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot \int_{0}^{4} (x + 1) d x \\ = & 2 \sqrt{2} π {[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{0}^{4} \\ = & 2 \sqrt{2} π (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 - 0) \\ = & 24 \sqrt{2} π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei avkortet kjegle, er $24 \sqrt{2} π$ .

d) $i (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, x \in [- 2, 2]$ (Dette skal beregnes ved hjelp av CAS.)

Løsning

Siden $i (x)$ er en halvsirkel, blir omdreiningslegemet ei kule.

Beregning av overflaten av ei kule ved hjelp av integrasjon i CAS. I linje 1 defineres funksjon i ved å skrive i av x kolon er lik kvadratrot 4 minus x opphøyd i andre kvadratrot slutt. I linje 2 beregnes overflaten ved å skrive OverflateKule kolon er lik 2 ganger pi ganger integral parentes i av x ganger kvadratrot 1 pluss parentes i derivert av x parentes opphøyd i andre komma minus 2 komma 2 parentes slutt. Resultatet er OverflateKule kolon er lik 16 ganger pi. Skjermutklipp.

Overflaten av kula er $16 π$ .

Oppgave 2

På teorisiden bruker vi integrasjon til å utlede formelen for overflaten av ei kule.

a) Bruk den samme metoden for å utlede formelen for overflaten til en sylinder med radius $s$ og høyde $h$ , uten bruk av digitale hjelpemidler.

Tips

En sylinder vil framkomme ved omdreining av et vannrett linjestykke om $x$ -aksen. Lengden av linjestykket vil da tilsvare høyden til sylinderen, $h$ , mens funksjonsuttrykket vil være en konstant som angir radius, $r$ , i sylinderen.

Løsning

Et generelt funksjonsuttrykk for et linjestykke som gir en sylinder ved omdreining om $x$ -aksen, vil være gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & r, x \in [0, h] \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O_{s y l i n d e r} & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{r} h \cdot \sqrt{1 + {(0)}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{r} h d x \\ = & 2 π {[h x]}_{0}^{r} \\ = & 2 π \cdot (h \cdot r - h \cdot 0) \\ = & 2 π r h \end{array}$

b) Kontroller beregningen av overflaten til sylinderen i oppgave 1 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave 2 a), uten bruk av hjelpemidler.

Løsning

Sylinderen i oppgave 3.3.20 a) har radius $r = 2$ og høyde $h = 4$ :

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{s y l i n d e r} & = & 2 π r h \\ = & 2 π \cdot 2 \cdot 4 \\ = & 16 π \end{array}$

Vi ser at vi får den samme overflaten i begge beregningene.

c) Utled formelen for overflaten av ei kjegle uten bunn på samme måte som for kule og sylinder. Bruk radius = $r$ og høyde = $h$ . Den generelle formelen for funksjonen som er utgangspunkt for omdreiningen, vil da være $y = f (x) = \frac{r}{h} x$ . Dette gir en rettlinjet graf som går gjennom origo, og for at omdreiningslegemet skal bli ei rett kjegle, må nedre grense være lik $0$ og øvre grense være lik $h$ .

Løsning

$y = f (x) = \frac{r}{h} x$ , som gir $y^{'} = f^{'} (x) = \frac{r}{h}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & 2 π \int_{a}^{b} (f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{1 + \frac{r^{2}}{h^{2}}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{\frac{h^{2}}{h^{2}} + \frac{r^{2}}{h^{2}}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \frac{1}{h} \sqrt{h^{2} + r^{2}}) d x \end{array}$

I ei kjegle er sidekanten, $s$ , hypotenusen i en trekant der høyden, $h$ , er den ene kateten, og radius, $r$ , er den andre kateten. Sidekanten, $s$ , er derfor gitt ved $s = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \frac{1}{h} s) d x \\ = & 2 π \frac{r}{h} s \frac{1}{h} \int_{0}^{h} x d x \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} \int_{0}^{h} x d x \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{h} \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} \cdot \frac{1}{2} h^{2} \\ = & π s r \end{array}$

d) Kontroller også beregningen av overflaten til kjegla i oppgave 1 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave c), uten bruk av hjelpemidler.

Løsning

Kjegla i oppgave 3.3.20 b) framkommer ved omdreining av $\begin{array}{rcl} g (x) & = & x, x \in [0, 4] \end{array}$ . Dette gir ei kjegle med radius = 4 og høyde = 4. Lengden av sidekanten blir da $s = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & π \cdot r \cdot s \\ = & π \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} \\ = & 16 π \sqrt{2} \end{array}$

Vi får den samme overflaten i begge beregningene.

Oppgave 3

Evangelista Torricelli (1608–1647) var en italiensk matematiker og fysiker. Innen fysikk er han kanskje mest kjent for å ha oppfunnet kvikksølvbarometeret, men han var også en av bidragsyterne til utviklingen av integralregningen.

I arbeidet med integralregningen oppdaget Torricelli noen helt spesielle egenskaper ved omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av grafen til funksjonen $y = \frac{1}{x}, x \geq 1$ om $x$ -aksen.

Omdreiningslegeme som ser ut som en langstrakt trakt og kan ligne på musikkinstrumentet lur. Skjermutklipp. — Gabriels horn (Torricellis trompet)

Torricelli viste at dette omdreiningslegemet, som i ettertid er blitt kalt både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endelig volum og uendelig overflate.

a) Beregn det endelige volumet for et horn som framkommer ved omdreining av $y = \frac{1}{x}, x \in [1, \infty 〉$ , uten bruk av digitale hjelpemidler. Kontroller deretter utregningen ved å beregne det bestemte integralet i CAS.

Løsning

$\begin{array}{rcl} V o l u m & = & π \int_{1}^{\infty} {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = & π \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{t} \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{t} - (- \frac{1}{1})) \\ = & π (0 - (- 1)) \\ = & π \end{array}$

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil volumet gå mot den endelige verdien $π$ .

Beregning av volum ved hjelp av CAS:

Beregning av volum i CAS, ei linje. Det står Volum av horn kolon er lik pi ganger Integral parentes parentes 1 delt på x parentes slutt opphøyd i andre komma 1 komma uendelig parentes slutt. Resultatet er Volum av horn kolon er lik pi. Skjermutklipp.

b) Vis ved hjelp av CAS at det samme hornet har uendelig overflate.

Løsning

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e & = & \int_{a}^{b} 2 π \cdot f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2}} d x \\ = & 2 π \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} d x \end{array}$

Beregning av overflaten av Torricellis trompet i CAS, ei linje. Det står Integral parentes parentes 1 delt på x ganger kvadratrot 1 pluss 1 delt på x opphøyd i fjerde kvadratrot slutt parentes slutt komma 1 komma uendelig parentes slutt. Resultatet blir uendelig. Skjermutklipp.

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil overflatearealet også gå mot uendelig.

c) Undersøk volumet av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av $y = \frac{1}{x}, x \in [0, 10 ⟩$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V o l u m & = & π \int_{0}^{10} {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = & π \int_{0}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} \int_{t}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} {[- \frac{1}{x}]}_{t}^{10} \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} (- \frac{1}{10} - (- \frac{1}{t})) \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} (\frac{1}{t} - \frac{1}{10}) \\ = & \infty \end{array}$

Vi ser at volumet av omdreiningslegemet går mot uendelig. Årsaken er at grafen til $y = \frac{1}{x}$ går mot uendelig når $x$ går mot 0.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Overflate av omdreiningslegemer(DOCX)
Overflate av omdreiningslegemer(PDF)