Subject

Subject Material

Video

Løsning av enkle trigonometriske likninger

Når vi løser trigonometriske likninger, må vi passe godt på hvilket intervall løsningene skal være innenfor.

Enkle sinuslikninger

Dersom du har vært gjennom oppgave 2.1.31 på siden "Eksakte trigonometriske verdier", har du allerede løst trigonometriske likninger. I oppgaven blir du bedt om å finne hvilken vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

Hvordan kan du sette opp denne oppgaven som en likning?

Svar

$\sin v = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Hva blir løsningen av likningen?

Svar

Siden oppgaven spør etter en vinkel i første kvadrant og høyresiden er en av de eksakte trigonometriske verdiene, blir løsningen

$v = \frac{π}{3}$

Hvilke løsninger har likningen i første omløp? Bruk figuren til hjelp.

Enhetssirkel med supplementvinklene v og u. Sinus til v og sinus til u er markert på figuren. Sinus til v er y-koordinaten til skjæringspunktet mellom høyre vinkelbein til vinkel v og enhetssirkelen. Det er tilsvarende for sinus til vinkel u. Illustrasjon. — Enhetssirkel med supplementvinklene u og v

Svar

Første omløp betyr at $v \in [0, 2 π 〉$ . Vi får i tillegg supplementvinkelen $u$ til løsningen i første kvadrant. Løsningen blir

$v = \frac{π}{3} \lor v = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$

Dette kan vi også skrive på mengdeform som

$L = \{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}\}$

Hva blir løsningen hvis $v \in ℝ$ ?

Svar

Likningen har da uendelig mange løsninger: to vinkler i hvert omløp, der vinklene sammenfaller med vinklene i første omløp. For eksempel vil vinkelen $\frac{7 π}{3} (= 420 °)$ i andre omløp sammenfalle med vinkelen $\frac{π}{3}$ og være en løsning, se figuren nedenfor.

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. En vinkel på 7 pi tredjedeler er markert i sirkelen. Illustrasjon. — Vinkelen 7pi tredjedeler eller 420 grader

Vi skriver løsningen ved hjelp av de to løsningene vi har i første omløp og det hele tallet $k$ på samme måte som vi skriver opp ekstremal- og nullpunktene til sinusfunksjonen på siden "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen". Vi får

$v = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor v = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

der $k \in ℤ$ (mengden av de hele tallene). Alternativt kan vi skrive løsningen som

$L = \{\frac{π}{3} + k \cdot 2 π, \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π\}$

Vi ser at det er viktig å se på i hvilket område vi skal lete etter løsninger av trigonometriske likninger. Likningen $\sin v = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ har i utgangspunktet uendelig mange løsninger, to for hvert omløp, siden sinusfunksjonen er periodisk. Dersom det ikke er angitt noe løsningsområde for $v$ , må vi gå ut ifra at løsningsområdet er alle reelle tall, $v \in ℝ$ .

Løsning med CAS i GeoGebra

Prøv å løse likningen $\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ med CAS i GeoGebra. Hva får du?

Resultat

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3. Svaret med "Løs" er x er lik 2 k 1 pi pluss 1 tredjedels pi eller x er lik 2 k 1 pi pluss 2 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Her har vi brukt $x$ som variabel. Vi ser at GeoGebra automatisk antar at $x \in ℝ$ når vi ikke spesifiserer noe område for $x$ .

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 2 pi. Svaret med "Løs" er x er lik en tredjedels pi eller x er lik to tredjedels pi. Skjermutklipp.

Vi kan i GeoGebra angi det aktuelle løsningsområdet for $x$ med en ulikhet atskilt fra likningen med et komma. På bildet har vi angitt at $x$ skal være i første omløp.

Hva skriver vi dersom vi kun vil ha løsninger i andre omløp?

Svar

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 2 pi mindre eller lik x mindre enn 4 pi. Svaret med "Løs" er x er lik 7 tredjedels pi eller x er lik 8 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Hva skriver vi dersom vi vil ha løsninger i første omløp i grader i stedet for radianer?

Svar

Vi må sette et gradsymbol etter $x$ i likningen, og vi må huske å oppgi løsningsområdet i grader.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes x grader parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 360. Svaret med "Løs" er x er lik 60 eller x er lik 120. Skjermutklipp.

Husk at gradsymbolet betyr at $x$ blir regnet om til radianer ved å multiplisere med brøken $\frac{π}{180}$ . Se oppgave 2.1.34 på oppgavesiden "Radianer – absolutte vinkelmål".

Hva med cosinus og tangens?

Hvordan tror du framgangsmåten blir dersom du skal løse likningen $\cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ sammenliknet med hvordan du løser likningen $\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ ?

Forklaring

Framgangsmåtene for å løse de to likningene er nokså like. Du kan se et eksempel på løsning av en cosinuslikning i videoen nederst på siden. På oppgavesiden om enkle trigonometriske likninger får du likningen $\cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ som en av oppgavene.

En tilsvarende oppgave med $\tan x$ vil også få tilsvarende framgangsmåte for løsningen.

Når vinkelen er $2 x$

Vi skal løse likningen

$\sin 2 x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Vi løser likningen ved å sette $u = 2 x$ . Da får vi

$\sin u = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Løsningen på denne har vi lenger opp på siden. Vi får

$u = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor u = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

der $k \in ℤ$ . Nå kan vi erstatte $u$ med $2 x$ . Resultatet blir

$2 x = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor 2 x = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

Merk at dette resultatet kan vi sette opp direkte uten å gå veien om $u$ . Det er argumentet til sinusfunksjonen (her: $2 x$ ) som blir stående på venstresiden i uttrykkene for løsningen.

Hva mangler nå for at vi skal kunne skrive opp løsningen, og hva må vi gjøre?

Forklaring

Vi må gå fra $2 x$ til $x$ . Det gjør vi som vanlig i likninger ved å dele på $2$ i alle ledd.

Vi ser på den første løsningen og deler på $2$ i begge leddene på høyre side.

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{6} + k \cdot π \end{array}$

Ikke glem å dele leddet $k \cdot 2 π$ på $2$ . Vi får tilsvarende i den andre løsningen:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{3} + k \cdot π \end{array}$

Løsningsmengden blir derfor

$L = \{\frac{π}{6} + k \cdot π, \frac{π}{3} + k \cdot π\}$

Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes 2 x parentes slutt er lik ei halv rot 3. Svaret med "Løs" er x er lik k 1 pi pluss 1 sjettedels pi eller x er lik k 1 pi pluss 1 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Vi antar nå at vi skal løse likningen med betingelsen $x \in [0, 2 π 〉$ . Forklar hvorfor det blir flere enn to løsninger.

Forklaring

Ut ifra løsningen når $x \in ℝ$ får vi løsninger i første omløp både når $k = 0$ og når $k = 1$ siden vi nå har leddet $k \cdot π$ i løsningen i stedet for $k \cdot 2 π$ .

Den første løsningen gir

$x = \frac{π}{6}$ når $k = 0$
$x = \frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ når $k = 1$

Den andre løsningen gir

$x = \frac{π}{3}$ når $k = 0$
$x = \frac{π}{3} + π = \frac{4 π}{3}$ når $k = 1$

Løsningsmengden blir

$L = \{\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3}\}$

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sin parentes 2 x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 2 pi. Svaret med "Løs" er x er lik 1 sjettedels pi eller x er lik 1 tredjedels pi eller x er lik 7 sjettedels pi eller x er lik 4 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Når vinkelen er $2 x + \frac{π}{3}$

Vi skal løse likningen

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Siden argumentet til sinusfunksjonen er $2 x - \frac{π}{3}$ , får vi

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor 2 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

Hva må vi gjøre her for å ende opp med bare $x$ på venstre side av løsningene?

Forklaring

Før vi deler med 2, flytter vi over brøken $\frac{π}{3}$ til høyre side.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π - \frac{π}{3} \\ = & k \cdot 2 π \\ x & = & k \cdot π \end{array}$

der $k \in ℤ$ og

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π - \frac{π}{3} \\ = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{6} + k \cdot π \end{array}$

og løsningsmengden blir

$L = \{k \cdot π, \frac{π}{6} + k \cdot π\}$

Dersom området for $x$ er begrenset, tester vi på vanlig måte hvilke $k$ -verdier som gir løsninger innenfor området.

Film om løsning av likning med sinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om løsning av likning med cosinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0