Når vi skal løse en rasjonal likning, multipliserer vi først med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet for å få en likning uten brøker. Det kan vi ikke gjøre når vi har en brøkulikhet med x i nevner. Hvorfor?
Problemet er at når vi har en brøkulikhet med i nevner, vil nevneren være negativ for noen -verdier og positiv for andre -verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall.
Vi løser rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.
Eksempel
Vi skal løse ulikheten
Vi må forutsette at er forskjellig fra , for ellers får vi null i nevneren.
Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side
Vi trekker sammen til én brøk og faktoriserer teller og nevner hvis nødvendig.
Telleren er null når , det vil si når . Nevneren er null når , det vil si når , som vi også slo fast i starten på eksempelet. Det er bare for disse to verdiene av at brøken kan skifte fortegn. Vi tar «stikkprøver» og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene .
For får vi
Uttrykket er negativt.
For får vi
Uttrykket er positivt.
For får vi
Uttrykket er negativt.
Vi setter opp et fortegnsskjema for brøken . NB! Legg merke til at brøken ikke er definert når nevneren blir 0. I fortegnsskjemaet markerer vi dette med to pilspisser som møtes eller et kryss for .
Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av brøken , det vil si at . Løsningen på oppgaven blir at må være større enn og mindre enn eller lik 2, .
Merk at her kunne uttrykket vårt være null, og da tar vi med 2 i løsningen.
