Subject

Subject Material

Video

Nullpunktmetoden for faktorisering

Her skal vi lære en generell metode for å faktorisere andregradsuttrykk. Denne kan brukes når de andre metodene vi kjenner, ikke strekker til.

Sammenheng mellom faktorisering og nullpunkt

I artikkelen "Andregradslikninger uten formel" viste vi hvordan vi kan løse andregradslikninger ved hjelp av å faktorisere og sette uttrykket lik 0. Vi har for eksempel at

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x - 15 & = & 0 \\ (x + 5) (x - 3) & = & 0 \\ x + 5 & = & 0 \lor x - 3 = 0 \\ x & = & - 5 \lor x = 3 \end{array}$

Vi ser at løsningene av likningen, det vi kaller nullpunktene til uttrykket, er de samme som nullpunktene til de to faktorene. Det betyr at vi også kan gå den andre veien, det vil si at vi kan finne de lineære faktorene til et andregradsuttrykk dersom vi kjenner nullpunktene. Vi går baklengs i eksempelet over:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 5 | + 5 \\ x + 5 & = & 0 \\ x & = & 3 | - 3 \\ x - 3 & = & 0 \end{array}$

Vi kan dermed gange ut de to faktorene, og vi får uttrykket vi startet med:

$\begin{array}{rcl} (x + 5) (x - 3) & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 15 & = & 0 \end{array}$

Dette skal vi bruke for å finne en framgangsmåte for å faktorisere alle faktoriserbare andregradsuttrykk, og vi kaller denne framgangsmåten for nullpunktmetoden.

Før du leser videre, bør du gjøre oppgave 1 på oppgavesiden "Nullpunktmetoden for faktorisering".

Nullpunktmetoden

Vi har sett at vi kan faktorisere et andregradsuttrykk på formen $x^{2} + b x + c$ ved hjelp av nullpunktene til uttrykket.

🤔 Tenk over: Vil det være nok å bruke nullpunktene for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Forklaring

Nei, dersom koeffisienten foran $x^{2}$ ikke er lik 1, får vi ikke det korrekte uttrykket. Ved å multiplisere to faktorer på formen $(x - a)$ vil koeffisienten alltid bli lik 1.

Vi ønsker å faktorisere uttrykket $2 x^{2} - 4 x - 30$ i lineære faktorer. Vi legger først merke til at vi har en felles faktor i alle ledd:

$2 x^{2} - 4 x - 30 = 2 (x^{2} - 2 x - 15)$

Så legger vi merke til at uttrykket i parentesen er det samme som i eksempelet over. Det må bety at vi har

$2 x^{2} - 4 x - 30 = 2 (x^{2} - 2 x - 15) = 2 (x - 5) (x + 3)$

Vi ser at vi i tillegg til de to faktorene som inneholder nullpunktene, må ha med koeffisienten til andregradsleddet som faktor. Vi kan nå formulere nullpunktmetoden for faktorisering av andregradsuttrykk:

Dersom uttrykket $a x^{2} + b x + c$ har nullpunktene $x_{1}$ og $x_{2}$ , kan uttrykket faktoriseres ved

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Eksempel

Vi skal faktorisere uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ . Vi finner først nullpunktene ved hjelp av abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} \\ x & = & \frac{1 \pm 5}{4} \\ x_{1} & = & \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ x_{2} & = & \frac{1 - 5}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1 \end{array}$

Vi får følgende resultat:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ 2 x^{2} - x - 3 & = & 2 (x - \frac{3}{2}) (x - (- 1)) \\ = & 2 (x - \frac{3}{2}) (x + 1) \end{array}$

Vi kan si oss fornøyd med dette uttrykket, men ofte liker matematikere å unngå brøker der de kan, særlig inne parenteser og under brøkstreker. Så vi velger her å multiplisere totallet inn i den første parentesen:

$\begin{array}{rcl} 2 (x - \frac{3}{2}) (x + 1) & = & (2 x - 3) (x + 1) \end{array}$

Film om nullpunktmetoden

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0