Tall, tallmengder og intervaller

Tallmengder

Naturlige tall

De første tallene du lærte som barn, var sannsynligvis tallene

$1, 2, 3, 4,...$

Dette var også de første tallene menneskene tok i bruk.

Vi kaller disse tallene for de naturlige tallene. Mengden av alle de naturlige tallene symboliseres med bokstaven N, gjerne skrevet med to streker på den midterste delen, slik: ℕ.

Vi skriver

$\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\right\}$

og leser "N er lik mengden av tallene 1, 2, 3, 4, 5 og så videre". Vi bruker krøllparenteser (også kalt sløyfeparenteser eller mengdeparenteser) for å liste opp en mengde av enkelttall. Prikkene etter 10-tallet viser at tallene fortsetter i samme mønster: 11, 12 og så videre.

De naturlige tallene kan brukes til å beskrive et antall, for eksempel hvor mange epler du har. De kan også brukes til å angi en nummerrekkefølge, for eksempel resultatlista ved en idrettskonkurranse.

Den tyske matematikeren Leopold Kronecker (1823–1891) skal en gang ha sagt at "Gud skapte de naturlige tallene, resten er menneskets verk".

Hele tall

La oss tenke oss at du dyrker og selger epler. Hvis du har 8 epler og selger 2 epler, har du 6 epler igjen. Dette kan illustreres med regneoperasjonen subtraksjon:

$8-2=6$

Vi subtraherer et naturlig tall fra et annet naturlig tall og får et nytt naturlig tall.

Men hva hvis kunden ønsker å kjøpe 8 epler, eller til og med 12 epler slik at du må låne 4 epler av naboen?

Regnestykkene blir nå

$8-8$ og $8-12$

Her har vi ikke naturlige tall som gir svar på regneoperasjonene. Det er da matematikere har funnet på å utvide tallmengden med tallet 0 og de negative tallene, og vi får at

$8-8=0$ og $8-12=-4$

Null epler betyr at du ikke har flere epler, og $-4$ epler betyr at du skylder 4 epler.

Vi utvider mengden av de naturlige tallene ved å plassere 0 til venstre for 1, $-1$ til venstre for 0, $-2$ til venstre for $-1$ og så videre:

$\left\{..., -2, -1, 0, 1, 2,...\right\}$

Ei tallinje kan gi et bilde av de hele tallene:

Tallet $-1$ kan med fordel leses som "negativ 1" for å markere at minustegnet her brukes som et fortegn – det forteller at tallet er negativt – og ikke som regnetegn.

Den tallmengden vi nå har fått, kalles for de hele tallene og symboliseres med bokstaven Z, gjerne skrevet med to streker på den midterste delen, slik: ℤ.

$\mathbb{Z}=\left\{..., -2, -1, 0, 1, 2,... \right\}$

Tall som ligger på hver sin side av tallet 0 og like langt fra 0, kalles for motsatte tall. For eksempel er 2 og $-2$ motsatte av hverandre. Summen av et tall og det motsatte tallet er alltid lik null. Tallet 0 er sitt eget motsatte tall.

De negative tallene ble ikke innført i Europa før på 1500-tallet. Det var store diskusjoner før de ble godtatt. Både filosofer og teologer hadde store betenkeligheter med å godta negative tall.

Tallet 0 ble godtatt i Europa noen hundre år tidligere. Noen matematikere regner tallet 0 med blant de naturlige tallene, mens andre ikke gjør det.

Når vi bruker regneoperasjonene addisjon og subtraksjon på to hele tall, får vi alltid et nytt helt tall som resultat.

Når vi legger sammen, trekker fra hverandre og multipliserer hele tall, blir resultatet alltid et helt tall. Det er slik en matematiker liker å ha det: én tallmengde og én regneoperasjon. Regneoperasjonen virker på tall i tallmengden og gir et nytt tall i tallmengden.

Når vi adderer et positivt tall, flytter vi oss til høyre på tallinja. Adderer vi det positive tallet 2, flytter vi oss to plasser til høyre på tallinja, uansett om vi adderer tallet 2 til et positivt eller negativt tall.

Når vi subtraherer et positivt tall, flytter vi oss til venstre på tallinja. Subtraherer vi det positive tallet 2, flytter vi oss to plasser til venstre på tallinja. Hvis vi subtraherer det positive tallet 9, flytter vi oss ni plasser til venstre på tallinja.

Men hva vil det si å addere eller subtrahere negative tall? Hvor havner vi på tallinja hvis vi til tallet 2 adderer det negative tallet $-5$, eller hvis vi til tallet 3 subtraherer det negative tallet $-4$?

Hva vil det egentlig si å addere og subtrahere negative tall? Har vi praktiske situasjoner hvor vi kan få en forståelse av hva det vil si? Dette kan du lese mer om på teorisiden "Regnearter og negative tall". Her nøyer vi oss med å si følgende:

• Når vi skal legge til et negativt tall, må vi gjøre det motsatte av hva vi ville gjort ellers: Vi må gå til venstre på tallinja. Det betyr at $2+\left(-5\right)=2-5=-3$.

• Når vi skal trekke fra et negativt tall, må vi gjøre det motsatte av hva vi ville gjort ellers: Vi må gå til høyre på tallinja. Det betyr at $3-\left(-4\right)=3+4=7$.

Rasjonale tall

Du kjenner også til regneoperasjonen divisjon. Vi kan dividere 8 med 4 og få 2, som er et helt tall. Men hvis vi for eksempel dividerer 1 med 2, blir resultatet ikke et helt tall. Vi får brøken $\frac{1}{2}$. For å kunne dividere hele tall må vi på ny utvide tallmengden vår. Vi må inkludere alle tall som består av brøker med hele tall i telleren og nevneren. Husk at i en brøk er telleren "på toppen" og nevneren "nede", slik: $\frac{\mathrm{teller}}{\mathrm{nevner}}$.

Tall som kan skrives som brøker med hele tall i telleren og nevneren, kalles rasjonale tall. Disse symboliseres med ℚ.

🤔 Tenk over: Er hele tall også rasjonale tall?

Rasjonale tall blir av og til enklere å behandle hvis vi skriver dem som desimaltall. Prinsippet er at vi gjør brøkene om til brøker med 10, 100, 1 000 og så videre som nevnere.

Tenk deg at du deler ei kake i ti like store deler. Fem av disse delene utgjør da halvparten av kaka.

Det betyr at $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$.

Et desimaltall har et desimalskilletegn. I Norge bruker vi komma som desimalskilletegn, mens de fleste andre land og de fleste digitale verktøy bruker punktum. Første siffer etter desimalskilletegnet angir hvor mange tideler vi har, det neste hvor mange hundredeler vi har, og så videre. Sifrene foran desimalskilletegnet angir heltall.

Det betyr at brøken $\frac{1}{2}$ kan skrives som $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0,5$.

Mange brøker kan på tilsvarende måte gjøres om til desimaltall.

For eksempel er

$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=0,25$

Vi kan nå anvende regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon på rasjonale tall og få et rasjonalt tall som resultat.

🤔 Tenk over: Kan alle brøker skrives som et desimaltall med et endelig antall desimaler?

Reelle tall

🤔 Tenk over: Finnes det tall som ikke er rasjonale tall?

Forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er lik det tallet som vi kaller π (pi). Du har lært at 3,14 er en god tilnærmet verdi for π, men faktisk er det ikke mulig å skrive π som et rasjonalt tall. I 2009 ble tallet beregnet med en nøyaktighet av 2 699 999 990 000 desimaler, det vil si nesten 2,7 billioner desimaler. Tallet π er et tall på tallinja, men er altså ikke rasjonalt. Vi sier at det er irrasjonalt.

Et annet irrasjonalt tall er det tallet som multiplisert med seg selv gir tallet 2. Vi skriver bare $\sqrt{2}$ . Det finnes ingen brøker som multiplisert med seg selv gir tallet 2.

Vi må altså utvide tallmengden vår igjen for å få med slike tall som π og $\sqrt{2}$. Den tallmengden vi nå har fått, kalles for de reelle tallene, og den symboliseres med bokstaven $ℝ$.

Vi kan tenke oss alle reelle tall som punkter på ei uendelig tallinje. Punktene ligger veldig tett. Mellom to reelle tall er det uendelig mange reelle tall. De reelle tallene utgjør alle tallene på tallinja.

🤔 Forklar hva denne figuren illustrerer. Bruk begrepet "delmengde" i forklaringen.

🤔 Tenk over: Er 2 et irrasjonalt tall?

Fortsatt finnes det tall som vi ikke har tatt med. For eksempel er det ikke noe reelt tall som multiplisert med seg selv gir tallet $-1$. $\sqrt{-1}$ er et imaginært tall. Dette tallet ligger ikke på tallinja. Vi skal ikke regne med imaginære tall i 1T-kurset, men bruk gjerne internett og finn ut mer om imaginære og komplekse tall!

Mengder som består av bestemte tall

Når vi skal referere til bestemte tall på tallinja, bruker vi krøllparenteser {...} slik vi gjorde øverst på siden for mengden ℕ av de naturlige tallene. Mengden av de naturlige tallene 1, 2 og 5 skrives som {1, 2, 5}.

Tallintervaller – mengder avgrenset av tall

Mengden av alle reelle tall avgrenset av to verdier kalles et tallintervall eller bare et intervall. Eksempler på tallintervaller er

$[1, 3], ⟨1, 3⟩, ⟨1, 3]$ og $[1, 3\rangle$

Det første intervallet, som har hakeparenteser, inkluderer endepunktene 1 og 3 i tillegg til alle reelle tall mellom disse to tallene. Dette er et lukket intervall fordi endepunktene er med, og de lukker intervallet. Vi leser det som "intervallet fra og med 1 til og med 3".

I det andre intervallet, som har spisse parenteser (vinkelparenteser), er 1 og 3 ikke med, men ellers er alle tallene som er med i det første intervallet, også med her. Dette er et åpent intervall. Vi leser det som "intervallet fra 1 til 3".

I det tredje intervallet er tallet 1 ikke med, mens tallet 3 er med. I det fjerde er tallet 1 med, mens 3 ikke er med. De to siste intervallene kalles halvåpne intervaller.

🤔 Tenk over: Hvordan leser vi de to siste intervallene?

🤔 Tenk over: Hvorfor tror du intervallet $\langle -1,3\rangle$ kalles et åpent intervall?

Intervallet $[2, \to ⟩=[2,\infty \rangle$ inneholder alle reelle tall større enn eller lik 2. Vi leser intervallet som "intervallet fra og med 2 til uendelig". Når vi har uendelig i et intervall, bruker vi spiss parentes fordi vi ikke har noe endepunkt som kan lukke dette intervallet. Intervallet er derfor halvåpent.

Intervallet $⟨\leftarrow , -4⟩=\langle -\infty ,-4\rangle$ inneholder alle reelle tall mindre enn $-4$. Dette intervallet leser vi som "intervallet fra minus uendelig til minus 4". Intervallet er åpent.

En tallmengde kan godt bestå av flere intervaller. Da bruker vi tegnet ∪, som betyr "union", for å lenke sammen intervallene. Eksempel:

$⟨-1,3⟩\cup [5,\to \rangle$

Dette leser vi som "intervallet fra minus 1 til 3 union med intervallet fra og med 5 til uendelig".

Film om tall og tallmengder (lengde 14:02)