Task

Integrasjon ved variabelskifte

Her kan du øve på integrasjon med variabelskifte, som også blir kalt substitusjon. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgavene på denne siden skal, når ikke annet er angitt, gjøres uten digitale hjelpemidler.

Oppgave 1

Bestem integralene.

a) $\int {(3 x + 1)}^{2} d x$

Tips

Sett $u = 3 x + 1$ .

Løsning

Vi setter $u = 3 x + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int {(3 x + 1)}^{2} d x & = & \int u^{2} \frac{d u}{3} \\ = & \frac{1}{3} \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3} + C \end{array}$

b) $\int \sqrt{3 - 4 x} d x$

Tips

Sett $u = 3 - 4 x$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Løsning

Vi setter $u = 3 - 4 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 4 \\ d x = - \frac{d u}{4} = - \frac{1}{4} d u \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{3 - 4 x} d x & = & \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u \\ = & - \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u \\ = & - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\ = & - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 4 x)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

c) $\int \frac{1}{5 x + 2} d x$

Tips

Sett $u = 5 x + 2$ .

Løsning

Vi setter $u = 5 x + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{5 x + 2} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |5 x + 2| + C \end{array}$

d) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Tips

Her har vi $x$ i både telleren og nevneren.

Hva kan vi velge som $u$ som gjør at vi får forkortet bort det som er igjen av $x$ ?

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{array}$

Legg merke til at vi fjerner absoluttverditegnet fra nest siste til siste linje i løsningen. Dette kan vi gjøre fordi $(x^{2} + 1)$ alltid vil være positiv.

e) $\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x$

Løsning

Vi setter $u = \ln x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = d u \cdot x \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln x)}^{3} + C \end{array}$

f) $\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x & = & \int x \cdot u^{6} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int u^{6} d u \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = & \frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Integrasjon ved variabelskifte(DOCX)
Integrasjon ved variabelskifte(PDF)