Grunnleggende om funksjonsanalyse

Monotoniegenskaper

Monotoniegenskapene til en funksjon forteller hvor grafen til funksjonen stiger og hvor den synker. Samtidig finner vi ekstremalpunktene, topp- og bunnpunktene, på grafen.

Å analysere og tolke en funksjon betyr gjerne at vi undersøker monotoniegenskaper og bestemmer topp- og bunnpunkter på grafen. Videre kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkter, krumningsforhold og vendepunkter (mer om dette på ei annen fagstoffside).

Monotoniegenskapene til en funksjon grafisk

Vi ønsker å finne monotoniegenskapene til funksjonen f ut ifra grafen til funksjonen nedenfor.

Vi observerer at grafen har toppunktet $(\mathrm{2,} 1)$. Grafen til funksjonen stiger når $x<2$ og synker når $x>2$. Monotoniegenskapene til funksjonen er derfor at

• funksjonen vokser for $x<2$
• funksjonen minker for $x>2$

Monotoniegenskaper og den deriverte

Utforsking

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{x}^3-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2}}}x+1$

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom $-2$ og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og om grafen stiger, synker eller har topp- og bunnpunkter.

Nedenfor kan du dra i det røde punktet på grafen og se hvordan stigningstallet a til tangenten endrer seg.

• Du kan laste ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

Du vil oppdage at

• stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
• stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
• stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkter

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkter, ved å se på fortegnet til den deriverte. Fortegnslinjer kan hjelpe oss med dette.

Fortegnslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen

Vi kan beskrive egenskapene til en funksjon ved å tegne fortegnslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen. Vi bruker funksjonen f på det øverste bildet som eksempel.

Fortegnslinja til funksjonen bestemmes av om grafen ligger over eller under x-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkter for $x=1$ og $x=3$. Det betyr at

• $f\left(x\right)>0$ når $1<x<3$
• $f\left(x\right)<0$ når $x<1$ og når $x>3$
• $f\left(x\right)=0$ når $x=1$ og når $x=3$

Vi fant monotoniegenskapene til funksjonen i eksempel 1. Det betyr at

• $f\text{'}\left(x\right)>0$  når  $x<2$
• $f\text{'}\left(x\right)<0$  når  $x>2$
• $f\text{'}\left(x\right)=0$  når  $x=2$

Denne informasjonen kan vi sammenfatte i et felles fortegnsskjema for $f\left(x\right)$ og $f\text{'}\left(x\right)$.

Dersom vi tegner fortegnslinjene for f og $f\text{'}$ inn i koordinatsystemet med grafen, ser det ut som nedenfor. NB! Dette er noe vi i praksis bare gjør for hånd, ikke med GeoGebra, som vi har gjort her.

Monotoniegenskapene til en tredjegradsfunksjon

Funksjonen f er gitt ved

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{x}^3-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{x}^2-2x+1$

Vi ønsker å bestemme monotoniegenskapene til f og finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f både med og uten hjelpemidler.

Løsning uten hjelpemidler

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{x}^3-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{x}^2-2x+1\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}·3·x^2-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}·2·x^1-2\\ & =& x^2-x-2\end{array}$

Vi setter så $f\text{'}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl} f\text{'}\left(x\right)& = & 0\\ x^2-x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle -\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}}{{\displaystyle 2·1}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1\pm \sqrt{9}}}{{\displaystyle 2}}}\\ & & \\ x_1& =& -1\\ x_2& =& 2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow ,-1⟩,⟨-1,2⟩$ og $⟨2,\to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(-2\right)& = & {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2=4>0\\ f\text{'}\left(0\right)& =& {\left(0\right)}^2-\left(0\right)-2=-2<0\\ f\text{'}\left(3\right)& =& {\left(3\right)}^2-\left(3\right)-2=4>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f\text{'}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen stiger for $x\in ⟨\leftarrow ,-1⟩\cup ⟨2,\to ⟩$
• grafen synker for $x\in ⟨-1,2⟩$

Grafen til $f\left(x\right)$ har altså et toppunkt når $x=-1$ og et bunnpunkt når $x=2$.

$\begin{array}{rll}f\left(-1\right)& = & {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(-1\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+1=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}+2+1}\\ & =& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 12}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle 6}}=\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}}\\ & & \\ f\left(2\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(2\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(2\right)}^2-2\left(2\right)+1=\frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 2}}-4+1}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 12}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 24}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle 6}}=-\frac{{\displaystyle 14}}{{\displaystyle 6}}=-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}}\end{array}$

Toppunktet er ${\displaystyle \left(-1,f\left(-1\right)\right)=\left(-1,\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}\right)}$.

Bunnpunktet er ${\displaystyle \left(2,f\left(2\right)\right)=\left(2,-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}\right)}$.

Vi sier også at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum ${\displaystyle f\left(-1\right)=\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}}$.

Vi sier at funksjonen har minimalverdi eller minimum ${\displaystyle f\left(2\right)=-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}}$.

Grafisk løsning

Vi kan tegne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og se at det vi får fram grafisk, stemmer med resultatene våre.

Løsning med CAS

Linje 3 i CAS-løsningen gir at grafen er stigende når $x<-1$ og når $x>2$. Det betyr at grafen er synkende når $-1<x<2$. Da må grafen ha et toppunkt for $x=-1$ og et bunnpunkt for $x=2$.

Terrassepunkter

Vi ønsker å bestemme monotoniegenskapene til funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=x^3$ uten hjelpemidler. Videre skal vi finne eventuelle ekstremalpunkter. Vi bruker samme framgangsmåte som over.

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2$

Vi setter så$f\text{'}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& = & 0\\ 3x^2& =& 0\\ x& =& 0\end{array}$

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene $⟨\leftarrow ,0⟩$ og $⟨0,\to ⟩$.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}(-1)& = & 3·{\left(-1\right)}^2=3>0\\ f\text{'}\left(1\right)& =& 3·{\left(1\right)}^2=3>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f\text{'}\left(x\right)$.

🤔 Tenk over: Hva er spesielt med denne fortegnslinja?

Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for $x=0$, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal (vannrett) for $x=0$. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt på en graf er et punkt der den deriverte er null. Da er det to muligheter:

• Hvis den deriverte skifter fortegn i punktet, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt.

• Hvis den deriverte ikke skifter fortegn i punktet, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Film: Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av den deriverte

I filmen under (lengde 14:07) får du en gjennomgang av det grunnleggende om funksjonsanalyse.