Task

Funksjoner og tre representasjoner av dem

Oppgavene kan løses med alle hjelpemidler hvis det ikke står noe annet.

This page has been archived. The content may be out of date.

3.1.1

Gutt som bærer en jente på ryggen. Illustrasjon.

a) Tegn og beskriv begrepene: koordinatsystem, $x$ -akse, $y$ -akse, koordinater og punkt.

b) Tegn et koordinatsystem. Sett navn på aksene. Tegn punktene (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punktene.

c) Samarbeidsoppgave: Den ene eleven lager et koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer hvilke punkter den første eleven skal tegne i koordinatsystemet sitt. Klarer dere å lage figurer av punktene?

3.1.2

Dere trenger en taxi. Det koster 60 kroner for å bestille en taxi hjem til dere og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Siden vi ikke vet hvor mange kilometer taxien skal kjøre, bruker vi bokstaven $x$ for antall kilometer. Prisen for taxituren kaller vi $P$ . Hvor stor blir $P$ ? Prisen er avhengig av hvor mange kilometer vi kjører, og vi skriver $P (x)$ .

$P (x) = 14 \cdot x + 60$

a) Forklar med dine egne ord hva funksjonsuttrykket, $P (x)$ , viser.

Vis fasit

Funksjonsuttrykket viser prisen for en taxitur når man kjører $x$ kilometer. Det koster 60 kroner i fast pris når man ringer etter taxi og deretter 14 kroner per kilometer man kjører med taxien.

b) Lag en verditabell for $x$ -verdiene 10, 20, 30, 40 og 50.

Vis fasit

Verditabell
Antall kilometer, $x$	10	20	30	40	50
Pris, $P (x)$	200	340	480	620	760

c) Forklar hva verditabellen forteller deg.

Vis fasit

Verditabellen viser prisen for en taxitur når man kjører henholdsvis 10, 20, 30, 40 og 50 kilometer.

3.1.3

Arealet av tre sirkler med radius 1, 1 komma fem og 2. Under hver sirkel er formel for arealet av sirkelen angitt. — Tre sirkler med arealformel

Figuren ovenfor viser radien og arealet til tre sirkler.

a) Hvilken størrelse er det som bestemmer arealet til en sirkel?

Vis fasit

Radien bestemmer størrelsen på arealet til en sirkel.

b) Kan vi si at arealformelen for en sirkel $A = π \cdot r^{2}$ er en funksjon? Forklar i så fall hvorfor.

Vis fasit

Arealet av sirkelen bestemmes av radien. Til enhver verdi av radien, $r$ , finnes en nøyaktig verdi av arealet til sirkelen. Vi kan da si at arealet til en sirkel er en funksjon av radien, $r$ .

3.1.4

Tenk deg at du er på butikken og handler smågodt.

a) Skriv ned et funksjonsuttrykk som viser sammenhengen mellom pris $P$ og antall hg smågodt du kjøper. La prisen på smågodt være 9,90 per hg og $x$ hvor mange hg du kjøper.

Vis fasit

Funksjonsuttrykker kan være $P (x) = 9, 90 \cdot x$ .

b) Lag et nytt funksjonsuttrykk, $Q (x)$ , som viser hvor mye du betaler når du kjøper smågodt. Nå er prisen satt ned til 7,90 kr per hekto, men du må betale 5,00 kr for begeret som du fyller smågodtet i.

Vis fasit

En funksjon som viser prisen, $Q (x)$ , har $x$ som variabel (siden du kan kjøpe så mange hekto smågodt du ønsker), og $x$ multipliseres med pris per hekto. Til slutt må prisen for begeret, 5,00 kr, legges til som en engangskostnad.

$Q (x) = 7, 90 \cdot x + 5, 00$

3.1.5

Du husker sikkert at formelen for areal av et kvadrat er

$A = side \cdot side = s^{2}$

a) Lag en tabell i et regneark der du finner arealet til kvadrater med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lager tabellen.

Vis fasit

Regnearket kan se slik ut:

Regneark
	A	B	B (formelvisning)
1	Sidekant i kvadratet	Arealet av kvadratet
2	2	4	=A2^2
3	4	16	=A3^2
4	6	36	=A4^2
5	8	64	=A5^2
6	10	100	=A6^2
7	12	144	=A7^2
8	14	196	=A8^2
9	16	256	=A9^2

Nedenfor kan du se utregningene i et ekte regneark.

Arealet av kvadrater(XLSX)

b) Kan du et navn på tallene som viser de ulike arealene?

Vis fasit

Man kan kalle arealet av et kvadrat for et kvadrattall.

3.1.6

En familie betalte 2 000 kroner i etableringsgebyr for å få tilgang til Kanal Hurra sine strømmetjenester. I tillegg betaler familien 210 kroner per måned for abonnementet og 70 kroner per måned for å leie en dekoder.

a) Hvor mye må familien betale for abonnementet det første året?

Vis fasit

Familien betaler 2 000 kroner i etableringsgebyr. I tillegg kommer det kostnader på $210 kr + 70 kr$ hver måned.

I alt blir dette

$2 000 kr + 280 kr \cdot 12 = 5 360 kr$

b) Forklar at utgiftene for abonnementet, $U$ , etter $x$ måneder kan uttrykkes som funksjonen $U (x)$ gitt ved

$U (x) = 280 \cdot x + 2 000$

Vis fasit

280 er de månedlige utgiftene, mens 2 000 er engangsbeløpet for etablering av abonnementet. Etter $x$ antall måneder kan vi da finne utgiftene ved å multiplisere 280 kr med antall måneder, $x$ . I tillegg må etableringsgebyret på 2 000 kr legges til.

c) Tegn grafen til $U$ i et koordinatsystem. Velg $x$ -verdier mellom 0 og 36. Hvorfor velger vi å la $x$ -aksen gå til 36?

Vis fasit

$x$ -aksen viser måneder, og når den går til 36, får vi oversikt over tre år. I GeoGebra skriver vi

U(x)=Funksjon(280x+2000,0,36)

Kommandoen etter likhetstegnet kan vi lage kjapt ved å begynne å skrive ordet "Funksjon" og velge alternativet "Funksjon(<Funksjon>, <Start>,< Slutt>)" som dukker opp.

Grafen til funksjonen U av x er lik 280 x pluss 2000 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 36 der x står for antall måneder. Grafen er en rett, stigende linje. Punktet A som ligger på grafen til U og har koordinatene 24 og 8720, er tegnet inn. Skjermutklipp. — Graf som viser abonnementsutgifter i kroner

d) Bruk grafen til å finne ut hvor mye familien har betalt etter to års abonnement.

Vis fasit

To år er 24 måneder, og $x$ -verdien må være 24. Vi skriver inn punktet $(24, U (24))$ i GeoGebra. Se punkt $A$ på grafen i oppgave c). Etter to år har familien hatt utgifter på 8 720 kr.

3.1.7

Du og familien din er på ferie og vil leie en bil. Dere tar en tur for å undersøke pris og får dette tilbudet: fastpris 650 kr og 6,20 kr per kilometer.

a) Bruk disse opplysningene til å skrive et funksjonsuttrykk, $K (x)$ , som kan brukes for å regne ut kostnadene ved å leie en bil.

Vis fasit

Et funksjonsuttrykk som viser kostnadene, $K (x)$ , som en funksjon av antall kilometer, $x$ , kan skrives som

$K (x) = 6, 20 \cdot x + 650$

b) Velg fem forskjellige turlengder, for eksempel 50 km, 100 km osv. Regn ut kostnadene for hver av dem, og sett opp tallene i en verditabell.

Vis fasit

Verditabell
Antall kilometer, $x$	50	100	150	200	250
Kostnadene, $K (x)$	960	1 270	1 580	1 890	2 200

c) Bruk resultatene fra b) til å tegne en graf til $K$ .

Vis fasit

Grafen til K av x er lik 6,2 x pluss 650 er tegnet med antall kilometer langs x-aksen og kostnader langs y-aksen. Grafen er tegnet for x-verdier fra 0 til 340. På grafen er det merket av 6 punkt. De har koordinatene A 50 og 960, B 100 og 1270, C 150 og 1580, D 200 og 1890 og E 250 og 2200. Den loddrette linjen x er lik 180 er tegnet inn og skjæringspunktet F med grafen til K er tegnet inn. F har koordinatene 180 og 1766. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnader i kroner

Vi legger punktene inn i et koordinatsystem. Punktene ligger på ei rett linje. Det ser vi også når vi skriver inn funksjonsuttrykket og får tegnet grafen, som går gjennom alle punktene.

d) Bruk grafen, og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil.

Vis fasit

Vi tegner linja $x = 180$ og finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktet $F$ på grafen i oppgave c).

Det koster 1 766 kr å kjøre 18 mil (180 kilometer).

3.1.8 Løs oppgaven uten hjelpemidler

I 2008 hadde Camilla et mobilabonnement. Hun betalte 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, $t$ . Kostnadene, $k$ , ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som

$k (t) = 0, 49 \cdot t + 99$

der $t$ varierer fra og med 50 til og med 200.

a) Lag en verditabell for $k$ .

Vis fasit

Verditabell
$t$	50	100	150
$k (t)$	123,50	148,00	172,50

b) Tegn grafen til $k$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen k av t er lik 0,49 t pluss 99 er tegnet for t-verdier mellom 50 og 200 der t står for antall ringeminutter. Grafen er en rett, stigende linje. Tre punkt ligger på grafen til k og har koordinatene 50 og 123,5, 100 og 148 og til slutt 150 og 172,5 er tegnet inn. Skjermutklipp. — Graf som viser utgiftene i kroner

c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Vis fasit

$y$ -aksen viser kostnadene. Vi finner 160 på $y$ -aksen og lager ei rett linje til grafen. Vi leser av $x$ -verdien og får cirka 125. Camilla har altså ringt i cirka 125 minutter når kostnaden er 160 kroner. Se grafen i b).

3.1.9

Temperatursvingningene gjennom et døgn er gitt ved funksjonen

$T (x) = - 0, 005 x^{3} + 0, 12 x^{2} - 2$

der $x$ er antall timer etter midnatt.

a) Forklar at $x$ varierer fra og med 0 til og med 24.

Vis fasit

Antall timer i et døgn er 24. Funksjonen gjelder for et døgn.

b) Tegn grafen til funksjonen $T$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen T av x er lik 0 komma 005 x i tredje pluss 0 komma 12 x i andre minus 2 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 26. X-aksen viser timer etter midnatt, og y-aksen viser temperatur i grader Celsius. Y-aksen går fra minus 2 til 10. Det er merket av 3 punkter på grafen. Grafen har et toppunkt i C med verdier 16 og 8 komma 42. Det er trukket ei rett linje fra y er lik 6 som krysser grafen og danner punktene A hvor x er 11 komma 17 og y er 6, mens det andre punktet heter B og har x-verdi 20 og y-verdi 6. Skjermutklipp.

c) Bruk grafen, og finn når temperaturen er 6° C.

Vis fasit

Siden $y$ -aksen viser temperatur, kan vi skrive $y = 6$ og få linja fram i koordinatsystemet. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $T$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene $A$ og $B$ på grafen i oppgave b). Temperaturen er 6° C klokka 11.00 og klokka 12.00.

d) Hva er den laveste temperaturen, og hva er den høyeste temperaturen gjennom døgnet?

Vis fasit

Av grafen ser vi at den laveste temperaturen er $- 2 ° C$ . Vi finner toppunktet på grafen med kommandoen Ekstremalpunkt(T,10,20). Den høyeste temperaturen er cirka $8, 2 ° C$ . Se punktet $C$ på grafen i oppgave b).

3.1.10

Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker cirka 2 timer og 4 minutter på en maraton. En maratondistanse er 42 195 meter.

a) Hvor mange meter tilbakelegger disse løperne per minutt?

Vis fasit

2 timer og 4 minutter er 124 minutter.

Distanse per minutt: $\frac{42 195 meter}{124 minutter} = 340 m / minutt$

b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, $d$ , løperne tilbakelegger og tida, $t$ .

Vis fasit

$d (t) = 340 \cdot t$

c) Lag en verditabell for $t = 30, t = 60, t = 90$ og $t = 120$ .

Vis fasit

Verditabell
$t$	$d (t)$
30	10 200
60	20 400
90	30 600
120	40 800

d) Tegn grafen, og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet.

Vis fasit

Grafen til funksjonen d av t er lik 340 t er tegnet i et koordinatsystem for t-verdier mellom 0 og 130. Grafen er en rett, stigende linje gjennom origo. Punktet A på grafen som har koordinatene 45 og 15300, er også tegnet inn. Skjermutklipp. — Graf som viser tilbakelagt distanse som funksjon av tida

Vi bruker kommandoen "Funksjon" slik: d(t) = Funksjon(340t,0,1000). Vi skriver inn punktet $(45, d (45))$ . Se punktet A på grafen. De har løpt 15 300 meter, det vil si 15,3 km, på 45 minutter.