Innpakking av julegaver på en rasjonell måte

Til denne oppgaven trenger du

• en del ulike esker og bokser,

  
  

  gjerne kvadratiske i formen

• innpakkingspapir
• tape
• saks

Oppgave 1

Elevene jobber sammen i grupper. Begynn med å ta tiden på hvor lang tid hver enkelt bruker på klippe ut passe stort innpakkingspapir og pakke inn en av eskene som en pakke. Sett karakter på hverandres pakke. Skriv resultatene i en tabell (tidsbruk, areal av innpakkingspapir, mengde tape og resultat).

Oppgave 2

Gruppen skal nå utforske muligheter for å pakke inn pakken mer effektivt. Brukte dere ulike metoder i gruppen? Kan dere komme på nye måter å pakke inn på? Hvilken metode er raskest?
Hva med papirmengden? Brukte noen mindre papir enn andre? Fikk noen bedre resultat enn andre, hvorfor? Kan dere finne måter å pakke inn på med mindre mengde papir og tape?
Gjør ulike utforskinger, og presenter løsningene for resten av klassen.

Oppgave 3

Vi skal nå se om matematikk kan hjelpe til med å løse oppgaven. Vi kan bruke overflaten til figuren. Prøv selv å klippe ut overflaten til ulike figurer. Ta tiden og fyll inn resultatene i tabellen fra oppgave 1.

Resultatet vil ofte være mye rester av papir, tidkrevende og mye liming.

Oppgave 4

Etter litt prøving og feiling er det kanskje noen som har endt opp med denne løsningen?

Resultat: pent, arbeidsbesparende og tidsbesparende. Prøv selv!

Metoden passer best for esker med kvadratisk topp og bunn, men kan brukes på alle prismer.
Prøv ut esker med ulik høyde. Hvordan må du endre på formelen for å få best mulig resultat om topp og bunn ikke er kvadratiske?

Forklaring

Diagonalen i gavepapiret blir:

$\begin{array}{l}C=\frac{1}{2}A+B+A+B+\frac{1}{2}A\\ \\ C=2A + 2B\end{array}$

Bruker pytagorassetningen for å finne sidelengdene:

$\begin{array}{rcl}{C}^2+C^2& = & (2A+2B{)}^2\\ & & \\ 2C^2& =& 2^2(A+B{)}^2\\ & & \\ \frac{\bcancel{2}{C}^2}{\bcancel{2}}& =& \frac{2^{\bcancel{2}}(A+B{)}^2}{\bcancel{2}}\\ & & \\ C^2& =& 2(A+B{)}^2\\ & & \\ C& =& \sqrt{2(A+B{)}^2}\end{array}$

Eksempel

Vi har en eske med kvadratisk topp og bunn, med sidelengder 8 cm. Høyden er 5 cm.

$\begin{array}{rcl}C& = & \sqrt{2{\left(8+5\right)}^2}\mathrm{cm}=\sqrt{2·{13}^2}\mathrm{cm}=\sqrt{338} \mathrm{cm}\\ & & \\ C& =& 18,4 \mathrm{cm}\end{array}$

Det minste mengden papir vi trenger for å pakke inn denne esken er et kvadrat med sidelengde 18,4 cm.

Oppgaven er laget etter ide fra Matematikk i en julegave.