Vektorer i tre dimensjoner

Her repeterer vi en del begreper fra vektorkapittelet i R1. I tillegg får du øvd på å regne med vektorer i tre dimensjoner.

De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Husk at du kan gå til vektorkapittelet i matematikk R1 for å repetere.

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler om ikke annet er oppgitt.

4.1.10

Hva er forskjellen på en skalar og en vektor? Gi eksempler på tre vektorstørrelser og tre skalare størrelser.

Løsning

En vektor har både en lengde og en retning, mens en skalar er bare ett tall.

Farten til en bil er en vektor.
Tyngdekraften er en vektor.
Forflytning er en vektor.

Temperatur er en skalar.
Volum er en skalar.
100 kroner er en skalar.

4.1.11

Husker du de grunnleggende regnereglene for vektorer?

4.1.12

Vi har gitt punktene $A (- 2, 3, 4)$ og $B (5, - 1, 2)$ .

a) Finn posisjonsvektoren $\vec{O A}$ til punktet $A$ .

Løsning

$\vec{O A}$ får samme koordinater som $A$ :

$\vec{O A} = [- 2, 3, 4]$

b) Finn koordinatene til $\vec{A B}$ .

Løsning

$\vec{A B} = [5 - (- 2), - 1 - 3, 2 - 4] = [7, - 4, - 2]$

c) Bestem koordinatene til punktet $Q$ når $\vec{A Q} = [0, 3, - 4]$ .

Løsning

Vi setter $Q = (x, y, z)$ . Dette gir

$\vec{A Q} = [x - (- 2), y - 3, z - 4] = [x + 2, y - 3, z - 4]$

Videre får vi at

$\begin{array}{rcl} \vec{A Q} & = & [0, 3, - 4] \\ [x + 2, y - 3, z - 4] & = & [0, 3, - 4] \end{array}$

Ut fra dette får vi følgende tre likninger:

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & 0 \land y - 3 = 3 \land z - 4 = - 4 \\ x & = & - 2 \land y = 6 \land z = 0 \end{array}$

Vi får at $Q = (- 2, 6, 0)$ .

d) Bestem koordinatene til punktet $S$ når $\vec{S B} = [0, 3, - 4]$ .

Løsning

Vi setter $S = (x, y, z)$ . Dette gir

$\vec{S B} = [5 - x, - 1 - y, 2 - z]$

Videre får vi at

$\begin{array}{rcl} \vec{S B} & = & [0, 3, - 4] \\ [5 - x, - 1 - y, 2 - z] & = & [0, 3, - 4] \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 5 - x & = & 0 \land - 1 - y = 3 \land 2 - z = - 4 \\ x & = & 5 \land y = - 4 \land z = 6 \end{array}$

Vi får at $S = (5, - 4, 6)$ .

e) Finn koordinatene til midtpunktet $M$ på $A B$ . Kontroller svaret med CAS.

Løsning

Vi setter $M = (x, y, z)$ . Det betyr at

$\vec{A M} = [x - (- 2), y - 3, z - 4] = [x + 2, y - 3, z - 4]$

Vi har dessuten at når $M$ er midtpunktet på $A B$ , er

$\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} [7, - 4, - 2] = [\frac{7}{2}, - 2, - 1]$

Disse to uttrykkene for $\vec{A M}$ må være like. Da får vi

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & \frac{7}{2} \land y - 3 = - 2 \land z - 4 = - 1 \\ x & = & \frac{3}{2} \land y = 1 \land z = 3 \end{array}$

Vi får at $M = (\frac{3}{2}, 1, 3)$ .

Løsning med CAS:

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er punktet A definert med koordinatene minus 2, 3 og 4. På linje 2 er punktet B definert med koordinatene 5, minus 1 og 2. På linje 3 er punktet M definert med koordinatene x, y og z. På linje 4 er A B definert som Vektor parentes A komma, B parentes slutt. Resultatet er A B kolon er lik parentes 7 komma, minus 4 komma, minus 2 parentes slutt. På linje 5 er A M definert som Vektor parentes A komma, M parentes slutt. Resultatet er A M kolon er lik parentes x pluss 2 komma, y minus 3 komma, z minus 4 parentes slutt. På linje 6 er A M satt lik en halv A B. Resultatet med Løs er x er lik 3 halve, y er lik 1, og z er lik 3. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

f) Et punkt $C$ ligger på linja gjennom $A B$ slik at $A B = B C$ . Finn koordinatene til $C$ .

Løsning

Én løsning er at $C = A$ . Den andre løsningen er at $B$ blir midtpunktet på $A C$ . Se figuren nedenfor.

Illustrasjon som viser to linjestykker. Det ene linjestykket går fra A og C, som er samme punkt, til punktet B. Det andre går fra A gjennom B til C slik at A C er dobbelt så lang som A B. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

For å finne den andre løsningen kan vi bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.

Vi setter $C = (x, y, z)$ . Det betyr at

$\vec{A C} = [x - (- 2), y - 3, z - 4] = [x + 2, y - 3, z - 4]$

Vi har dessuten at når $B$ er midtpunktet på $A C$ , er

$\vec{A C} = 2 \vec{A B} = 2 [7, - 4, - 2] = [14, - 8, - 4]$

Disse to uttrykkene for $\vec{A C}$ må være like. Da får vi

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & 14 \land y - 3 = - 8 \land z - 4 = - 4 \\ x & = & 12 \land y = - 5 \land z = 0 \end{array}$

Vi får at $C = A = (- 2, 3, 4) \lor C = (12, - 5, 0)$ .

Den andre løsningen kan kontrolleres med CAS på samme måte som i forrige oppgave.

4.1.13

Gitt $\vec{a} = [1, 2, - 3]$ og $\vec{b} = [- 3, 2, 4]$ .

a) Finn koordinatene til $3 \vec{a}$ .

Løsning

$3 \vec{a} = 3 [1, 2, - 3] = [3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot (- 3)] = [3, 6, - 9]$

b) Finn koordinatene til $\vec{a} + \vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} + \vec{b} & = & [1, 2, - 3] + [- 3, 2, 4] \\ = & [1 + (- 3), 2 + 2, - 3 + 4] \\ = & [- 2, 4, 1] \end{array}$

c) Finn koordinatene til $\vec{a} - \vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} - \vec{b} & = & [1, 2, - 3] - [- 3, 2, 4] \\ = & [1 - (- 3), 2 - 2, - 3 - 4] \\ = & [4, 0, - 7] \end{array}$

d) Finn koordinatene til $\vec{a} - 3 \vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} - 3 \vec{b} & = & [1, 2, - 3] - 3 [- 3, 2, 4] \\ = & [1 - 3 \cdot (- 3), 2 - 3 \cdot 2, - 3 - 3 \cdot 4] \\ [1 + 9, 2 - 6, - 3 - 12] \\ = & [10, - 4, - 15] \end{array}$

e) Finn koordinatene til $\vec{c}$ når $\vec{a} - 2 \vec{c} = [0, \frac{4}{3}, - 7]$ .

Løsning

Vi setter $\vec{c} = [x, y, z]$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} \vec{a} - 2 \vec{c} & = & [1, 2, - 3] - 2 [x, y, z] \\ [0, \frac{4}{3}, - 7] & = & [1 - 2 x, 2 - 2 y, - 3 - 2 z] \\ 0 & = & 1 - 2 x \land \frac{4}{3} = 2 - 2 y \land - 7 = - 3 - 2 z \\ 2 x & = & 1 \land 2 y = \frac{2}{3} \land 2 z = 4 \\ x & = & \frac{1}{2} \land y = \frac{1}{3} \land z = 2 \end{array}$

Vi får $\vec{c} = [\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 2]$ .

4.1.14

Skriv vektorene uttrykt ved enhetsvektorene $\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}$ og $\vec{e_{z}}$ .

a) $[2, 5, - 1]$

Løsning

$[2, 5, - 1] = 2 \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}} - \vec{e_{z}}$

b) $[- 3, 2, \frac{1}{2}]$

Løsning

$[- 3, 2, \frac{1}{2}] = - 3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}} + \frac{1}{2} \vec{e_{z}}$

c) $[- \frac{3}{4}, 0, \frac{2}{3}]$

Løsning

$[- \frac{3}{4}, 0, \frac{2}{3}] = - \frac{3}{4} \vec{e_{x}} + \frac{2}{3} \vec{e_{y}}$

4.1.15

I denne oppgaven repeterer vi noen av regnereglene for skalarproduktet mellom to vektorer. Reglene gjelder både for vektorer i to og tre dimensjoner.

4.1.16

Her skal vi utlede, det vil si regne oss fram til, formelen for skalarproduktet mellom to vektorer i tre dimensjoner ved hjelp av de tre enhetsvektorene $\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}$ og $\vec{e_{z}}$ i henholdsvis $x$ -, $y$ - og $z$ -retning.

a) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn $\vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}}, \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{z}}$ og $\vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{z}}$ .

Løsning

$\vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} = |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \cos 90 ° = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$\vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{z}} = |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{z}}| \cdot \cos 90 ° = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$\vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{z}} = |\vec{e_{y}}| \cdot |\vec{e_{z}}| \cdot \cos 90 ° = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

b) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn $\vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}}, \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}}$ og $\vec{e_{z}} \cdot \vec{e_{z}}$ .

Løsning

$\vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} = |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{x}}| \cdot \cos 0 ° = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

$\vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} = |\vec{e_{y}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \cos 0 ° = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

$\vec{e_{z}} \cdot \vec{e_{z}} = |\vec{e_{z}}| \cdot |\vec{e_{z}}| \cdot \cos 0 ° = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

c) Vi har gitt de generelle vektorene $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ . Sett $\vec{a} = x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}}, \vec{b} = x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}} + z_{2} \vec{e_{z}}$ , bruk regneregler for skalarproduktet, og finn en formel for skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$ uttrykt ved koordinatene til $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & (x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}}) \cdot (x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}} + z_{2} \vec{e_{z}}) \\ = & x_{1} \vec{e_{x}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + x_{1} \vec{e_{x}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} + x_{1} \vec{e_{x}} \cdot z_{2} \vec{e_{z}} \\ + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot z_{2} \vec{e_{z}} \\ + z_{1} \vec{e_{z}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + z_{1} \vec{e_{z}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}} \cdot z_{2} \vec{e_{z}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} + x_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} + x_{1} \cdot z_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{z}} \\ + y_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} + y_{1} \cdot z_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{z}} \\ + z_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{z}} \cdot \vec{e_{x}} + z_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{z}} \cdot \vec{e_{y}} + z_{1} \cdot z_{2} \cdot \vec{e_{z}} \cdot \vec{e_{z}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot 1 + x_{1} \cdot y_{2} \cdot 0 + x_{1} \cdot z_{2} \cdot 0 \\ + y_{1} \cdot x_{2} \cdot 0 + y_{1} \cdot y_{2} \cdot 1 + y_{1} \cdot z_{2} \cdot 0 \\ + z_{1} \cdot x_{2} \cdot 0 + z_{1} \cdot y_{2} \cdot 0 + z_{1} \cdot z_{2} \cdot 1 \\ = & x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2} \end{array}$

4.1.17

a) Vis ut ifra definisjonen av skalarproduktet at

$|\vec{a}| = \sqrt{{\vec{a}}^{2}} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

uten å bruke vektorkoordinater.

Løsning

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos 0 = {|\vec{a}|}^{2} \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

b) Vis ved å bruke skalarproduktet på koordinatform og sette $\vec{a} = [x, y, z]$ at

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} |\vec{a}| & = & \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} \\ = & \sqrt{[x, y, z] \cdot [x, y, z]} \\ = & \sqrt{x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z} \\ = & \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{array}$

c) Vi skal finne lengden av $\vec{O P}$ på figuren nedenfor ved å se på geometrien. Figuren er interaktiv, så du kan rotere på koordinatsystemet.

Filer

Du kan laste ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

Bruk pytagorassetningen 2 ganger til å vise at $|\vec{O P}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

Løsning

Siden $C$ ligger i $x y$ -planet rett under $P$ , vil $C$ ha koordinatene $(x, y, 0)$ . Trekanten $O C D$ er rettvinklet. Det betyr at koordinatene til $D$ er $(x, 0, 0)$ . Ved å bruke pytagorassetningen får vi at

$O C = \sqrt{O D^{2} + D C^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Ved å gjøre tilsvarende med den rettvinklede trekanten $O P C$ får vi at

$|\vec{O P}| = O P = \sqrt{O C^{2} + C P^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

4.1.18

Gitt $\vec{a} = [1, 2, - 3]$ og $\vec{b} = [- 3, 2, 4]$ .

a) Regn ut $\vec{a} \cdot \vec{b}$ uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & [1, 2, - 3] \cdot [- 3, 2, 4] \\ = & 1 \cdot (- 3) + 2 \cdot 2, + (- 3) \cdot 4 \\ = & - 3 + 4 - 12 \\ = & - 11 \end{array}$

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er vektoren a med koordinatene 1, 2 og minus 3 skrevet inn. På linje 2 er vektoren b med koordinatene minus 3, 2 og 4 skrevet inn. På linje 4 er a multiplisert med b regnet ut til å bli minus 11. — Skalarproduktet mellom a-vektor og b-vektor med GeoGebra. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) Regn ut $|\vec{a}|$ og $|\vec{b}|$ uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løsning

$|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 4 er det skrevet sløyfeparentes Lengde parentes a parentes slutt komma, Lengde parentes b parentes slutt sløyfeparentes slutt. Svaret er sløyfeparentes rot 14 komma, rot 29 sløyfeparentes slutt. — Lengden av vektorene a og b med CAS i GeoGebra. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I stedet for å bruke kommandoen Lengde(a), kan vi skrive |a|.

c) Finn et eksakt uttrykk for cosinus til vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ uten hjelpemidler.

Løsning

Fra skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ og resultatene i oppgavene a) og b) får vi at

$\begin{array}{rcl} \cos (\vec{a}, \vec{b}) & = & \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \\ = & \frac{- 11}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{29}} \end{array}$

d) Finn vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

Det er mange måter å gjøre dette på. Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Vinkel".

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 5 er kommandoen Vinkel parentes a komma, b parentes slutt skrevet inn. Svaret er et eksakt uttrykk med pi som vi regner ut i grader på neste linje. På linje 6 er det skrevet dollartegn 3 delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er 123,09. — Vinkelen mellom a- og b-vektor med CAS. Bilde: Bjarne / CC BY-SA 4.0

I linje 4 har vi delt på gradsymbolet for å få vinkelen i grader. Alternativt kan vi dele på π og multiplisere med 180°.

Vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er 123,1°.

4.1.19

Løs oppgavene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS til slutt.

Gitt vektorene $\vec{u} = [1, 2, 3]$ og $\vec{v} = [2, - 4, t]$ .

a) Bestem $t$ slik at $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Løsning

Vi regner ut skalarproduktet og setter det lik 0.

$\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0 \\ [1, 2, 3] \cdot [2, - 4, t] & = & 0 \\ 2 - 8 + 3 t & = & 0 \\ 3 t - 6 & = & 0 \\ t & = & 2 \end{array}$

b) Bestem $t$ slik at $\vec{u} + \vec{v} = [3, - 2, 4]$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{u} + \vec{v} & = & [3, - 2, 4] \\ [1, 2, 3] + [2, - 4, t] & = & [3, - 2, 4] \\ [1 + 2, 2 - 4, 3 + t] & = & [3, - 2, 4] \\ [3, - 2, 3 + t] & = & [3, - 2, 4] \end{array}$

$x$ - og $y$ -koordinatene er like på venstre og høyre side. $z$ -koordinatene må også være like for at likningen skal være oppfylt. Dette gir

$\begin{array}{rcl} 3 + t & = & 4 \\ t & = & 1 \end{array}$

c) Bestem $t$ slik at $| \vec{v} | = 6$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & 6 \\ |[2, - 4, t]| & = & 6 \\ \sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2} + t^{2}} & = & 6 \\ 4 + 16 + t^{2} & = & 36 \\ t^{2} & = & 36 - 20 \\ = & 16 \\ t & = & - 4 \lor t = 4 \end{array}$

d) Undersøk om $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er parallelle for noen verdier av $t$ . Finn i så fall disse verdiene.

Løsning

Dersom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ skal være parallelle, må det finnes en $k$ slik at

$\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & k \cdot \vec{v} \\ [1, 2, 3] & = & k [2, - 4, t] \end{array}$

Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.

$1 = 2 k \land 2 = - 4 k \land 3 = k t$

De to første likningene gir ulik løsning for $k$ . Da finnes det ikke noen verdi for $t$ som gjør at vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er parallelle.

e) Gitt $\vec{w} = [2, s, t]$ . Undersøk om $\vec{u}$ og $\vec{w}$ er parallelle for noen verdier av $t$ og $s$ . Finn i så fall disse verdiene.

Løsning

Dersom $\vec{u}$ og $\vec{w}$ skal være parallelle, må det finnes en $k$ slik at

$\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & k \cdot \vec{w} \\ [1, 2, 3] & = & k [2, s, t] \end{array}$

Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.

$1 = 2 k \land 2 = k s \land 3 = k t$

Den første likningen gir $k = \frac{1}{2}$ . Den andre likningen gir

$s = \frac{2}{k} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

Den tredje likningen gir

$t = \frac{3}{k} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{w}$ er parallelle dersom $s = 4$ og $t = 6$ .

Løsning av oppgavene med CAS

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 og 2 er vektorene u med koordinatene 1, 2 og 3 og v med koordinatene 2, minus 4 og t skrevet inn. På linje 3 er det skrevet u multiplisert med v er lik 0. Svaret med Løs er t er lik 2. På linje 4 er det skrevet u pluss v er lik parentes 3 komma, minus 2 komma, 4 parentes slutt. Svaret med Løs er t er lik 1. På linje 5 er det skrevet absoluttverdien av v er lik 6. Svaret med Løs er t er lik minus 4 eller t er lik 4. På linje 6 er det skrevet u er lik k multiplisert med v. Svaret med Løs er ingenting. På linje 7 er vektoren w med koordinatene 2, s og t skrevet inn. På linje 8 er det skrevet u er lik k multiplisert med w. Svaret med Løs er k er lik 1 halv, s er lik 4, og t er lik 6. — Løsning av ulike vektoroppgaver med CAS. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Merk at vi også kan finne skalarproduktet mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ med kommandoen Skalarprodukt(u,v). Lengden av $\vec{v}$ kan vi også finne med kommandoen Lengde(v).

4.1.20

Lag et program som regner ut vektorkoordinatene til vektoren mellom to punkter $A$ og $B$ som brukeren av programmet skriver inn.

Tips til oppgaven

Vi kan skrive inn alle koordinatene én og én, men ved hjelp av metoden "split" kan vi skrive inn én og én vektor.

Løsning

Idéen er å få lagret koordinatene til hvert punkt som ei liste og gjøre om listene til en numpy-array slik at vi kan trekke den ene fra den andre i én operasjon. Brukeren av programmet kan skrive inn ett og ett punkt som vi gjør om til ei liste ved hjelp av metoden "split".

python

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finner vektoren mellom to punkter A og B.")
4A = input("Skriv inn koordinatene til startpunktet A på formen \"x,y,z\": ")
5B = input("Skriv inn koordinatene til endepunktet B på formen \"x,y,z\": ")
6
7A = A.split(",")
8for i in range(len(A)):
9  A[i] = float(A[i])
10A = np.array(A)
11
12B = B.split(",")
13for i in range(len(B)):
14  B[i] = float(B[i])
15B = np.array(B)
16
17vektor = B - A
18print(f"Vektoren mellom A og B blir {list(vektor)}.")

Legg merke til at for å få skrevet ut apostrofene i inputsetningene, skriver vi "\" (omvendt skråstrek) foran dem. I siste linje konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for da blir det skrevet ut et komma mellom hvert listeelement (hver koordinat).

Det er mulig å lage kortere kode enn dette eksempelet. Ved å bruke såkalt "list comprehension" kan vi for eksempel slå sammen linje 8 til 10 og linje 13 til 15. Koden nedenfor gjør det samme som linje 8 til 10:

python

1A = np.array([float(k) for k in A])

Vi kan videre slå sammen denne linja med linje 7 slik at linjene 7 til 10 kan skrives som

python

1A = np.array([float(k) for k in A.split(",")])

4.1.10

4.1.11

4.1.12

4.1.13

4.1.14

4.1.15

4.1.16

4.1.17

Filer

4.1.18

4.1.19

4.1.20

Regler for bruk av teksten "Vektorer i tre dimensjoner"