Video

Integrasjon ved variabelskifte

For noen funksjoner må vi bruke spesielle metoder for å integrere. En av disse er integrasjon med variabelskifte, eller substitusjon.

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen for derivasjon "baklengs".

Differensialene $d y$ og $d x$

For å kunne bruke denne metoden innfører vi en ny skrivemåte for den deriverte, der vi bruker differensialene $d y$ og $d x$ .

Gjennomsnittlig vekstfart fra ett punkt på en graf til et annet punkt på grafen, er definert som $\frac{∆ y}{∆ x}$ , der $∆ x$ er liten endring i $x$ -retning som medfører en endring $∆ y$ i $y$ -retning. Se figuren nedenfor.

Den deriverte til en funksjon $y = f (x)$ i et punkt er definert som den verdien den gjennomsnittlige vekstfarten går mot når $∆ x$ går mot null:

$y^{'} = f^{'} (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ y}{∆ x}$

Den deriverte til en funksjon i et punkt kan ut fra dette defineres som den momentane vekstfarten i punktet, eller stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.

Grafen til en funksjon med differensialene d x og d y. Illustrasjon.

Differensialet $d x$ er ut fra dette en liten endring i $x$ -retningen, mens differensialet $d y$ til funksjonen $y = f (x)$ er hvor mye stigningen til tangenten i punktet $x$ endres med en liten forandring $∆ x$ . (Husk at $∆ y$ er tilsvarende endring for funksjonen, mens både den deriverte og funksjonen endres i $x$ -retning med $d x = ∆ x$ .) Se figuren.

Dette betyr at den deriverte, som er stigningstallet til tangenten, nå kan skrives som

$y^{'} = f^{'} (x) = \frac{d y}{d x}$

Det er vanlig å bruke variabelen $u$ på uttrykket vi bytter ut (substituerer). Derfor har vi at

$u^{'} = \frac{d u}{d x}$

Vi kan si at $\frac{d u}{d x}$ angir den deriverte av $u$ med hensyn på $x$ . Dette kan omformes til

$d x = \frac{d u}{u^{'}}$

I det videre arbeidet skal vi behandle differensialene $d u$ og $d x$ som størrelser vi kan behandle algebraisk, det vil si bruke i beregninger.

Metode: integrasjon ved variabelskifte

Integrasjon ved variabelskifte går ut på å omforme integranden, som er en funksjon av $x$ , til en funksjon av $u$ , ved å sette en del av funksjonen lik $u$ . Det som er viktig når vi skal velge hva $u$ skal være, er at den deriverte av $u$ må være slik at den kan forkorte bort det som er igjen av $x$ i uttrykket. Faktoren som settes lik $u$ , vil ofte være faktoren med høyest grad, og den kan for eksempel være innholdet i en parentes, en eksponent, radikanden (det som står under et rottegn) eller nevneren i en brøk, og $u$ angis ofte som "kjernen".

For å se hvordan dette blir tar vi utgangspunkt i følgende ubestemte integral:

$\int 2 x \cdot \sin (x^{2} + 1) d x$

Vi ser at integranden er et produkt av to faktorer, $2 x$ og $\sin (x^{2} + 1)$ . Hvordan blir integralet hvis vi velger kjernen som $u = x^{2} + 1$ ?

Svar

Hvis vi velger kjernen som $u = x^{2} + 1$ , blir integralet

$\int 2 x \cdot \sin u d x$

Hva blir den deriverte av kjernen $u = x^{2} + 1$ ?

Svar

Den deriverte til kjernen, $\frac{d u}{d x}$ , blir ${(x^{2} + 1)}^{'} = 2 x$ .

Vi har at

$\begin{array}{rcl} u & = & x^{2} + 1 \\ \frac{d u}{d x} & = & 2 x \\ d x & = & \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Er det mulig å forkorte bort $x$ og utføre integrasjonen hvis vi erstatter $d x$ med $\frac{d u}{2 x}$ ?

Svar

Ja, det vil være mulig å forkorte bort $2 x$ og deretter utføre integrasjonen.

$\begin{array}{rcl} \int 2 x \cdot \sin (x^{2} + 1) d x & = & \int 2 x \cdot \sin u \frac{d u}{2 x} \\ = & \int \sin u d u \end{array}$

Etter å ha forkortet $2 x$ mot $2 x$ ser vi at integralet har $u$ som variabel og $d u$ istedenfor $d x$ . Vi kan da utføre integrasjonen med hensyn på $u$ .

$\begin{array}{rcl} \int \sin u d u & = & - \cos u + C \\ = & - \cos (x^{2} + 1) + C \end{array}$

I den siste linja har vi "byttet tilbake", det vil si erstattet $u$ med $x^{2} + 1$ .

Det at den deriverte av $x^{2} + 1$ er $2 x$ , gjør at variabelen $x$ "forsvinner" i integranden, slik at integranden bare inneholder variabelen $u$ . Dette er selve "nøkkelen" med metoden.

Eksempel

$\int \frac{3 x + 6}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 5}} d x$

Vi setter radikanden lik $u$ , som gir $u = x^{2} + 4 x + 5$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} u^{'} & = & \frac{d u}{d x} = 2 x + 4 = 2 (x + 2) \\ d x & = & \frac{d u}{2 (x + 2)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x + 6}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 5}} d x & = & \int \frac{3 (x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 5}} d x \\ = & \int \frac{3 (x + 2)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{d u}{2 (x + 2)} \\ = & \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u \end{array}$

Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik $3 x + 6$ , men begge uttrykkene inneholder faktoren $x + 2$ . Denne kan forkortes vekk, og dermed "forsvinner" variabelen $x$ i integranden, slik poenget med metoden er.

Vi antideriverer og finner

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u & = & \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u \\ = & \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} \cdot u^{- \frac{1}{2} + 1} + C \\ = & \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{u} + C \\ = & 3 \sqrt{x^{2} + 4 x + 5} + C \end{array}$

Integrasjonsregel for $\begin{matrix} \int \frac{1}{a x + b} \end{matrix}$ $d x$

Vi kan bruke variabelskifte sammen med regelen om at $\begin{matrix} \int \frac{1}{x} d x = \ln |x|, x \neq 0 \end{matrix}$ til å finne en integrasjonsregel for $\begin{matrix} \int \frac{1}{a x + b} d x \end{matrix}$ , der $a$ og $b$ er konstante tall.

$\int \frac{1}{a x + b} d x$

$u = a x + b$

$\frac{d u}{d x} = a$ , og dette gir $d x = \frac{d u}{a}$ .

Vi setter inn for $u$ og $d x$ , og vi kan nå utføre integrasjonen:

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{a x + b} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{a} \\ = & \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{a} d u \\ = & \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{a} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C \end{array}$

Integrasjon med variabelskifte

Finn funksjonen som utgjør kjernen, og erstatt denne funksjonen med $u$ i integranden.

Beregn $\frac{d u}{d x} = u^{'}$ .

Erstatt $d x$ med $\frac{d u}{u^{'}}$ i integralet som skal løses.

Forkort slik at $u$ er eneste variabel.

Gjennomfør integrasjon med $u$ som integrasjonsvariabel.

Sett tilbake kjernen i uttrykket slik at vi igjen får $x$ som variabel i funksjonen.

Integrasjonsregel

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C, x \neq 0 \land a \neq 0$

Film om integrasjon ved variabelskifte

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om integrasjon med variabelskifte, eksempel 1

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om integrasjon med variabelskifte, eksempel 2

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0