VF-1
a) Eit pæretre vart 2,5 m høgare i løpet av 3 år.
Kor stor var den gjennomsnittlege vekstfarten til treet i dei 3 åra?
Løysing
Vi må rekne ut kor mange m høgare treet vart per år.
Den gjennomsnittlege vekstfarten var 0,83 m/år.
b) Temperaturen sokk 6 gradar i løpet av 2 timar.
Kor mykje sokk han i gjennomsnitt per time?
Løysing
Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten. Hugs at
Temperaturen sokk i gjennomsnitt med 3 gradar per time.
c) Under eit kraftig snøvêr auka snødjupna frå 25 cm til 50 cm i løpet av 1,5 timar.
1) Kor mykje snødde det i gjennomsnitt per time?
Løysing
Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten til snødjupna.
Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.
2) Kva var snødjupna etter den første halve timen av snøvêret?
Løysing
Vi kan ikkje vite eksakt kva snødjupna var etter ein halvtime. Vi kan finne ein tilnærma verdi ved hjelp av den gjennomsnittlege vekstfarten.
Snødjupna var cirka 33 cm etter ein halv time.
d) Ein dag med mykje regn steig vasstanden i ei elv frå 1,34 m då klokka var 11.00, til 2,65 m klokka 15.00.
Kor mykje endra vasstanden seg i gjennomsnitt per minutt?
Løysing
Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til vasstanden. Vi byrjar med å rekne ut
Sidan talet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi vel cm per minutt:
Vasstanden steig med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.
e) Verdien til ein bil sokk frå 600 000 kroner då han var ny i 2016, til 200 000 kroner i 2020.
1) Kor mykje sokk bilen i verdi i gjennomsnitt per år?
Løysing
Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til verdien på bilen.
Bilen sokk i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.
2) Kva var verdien på bilen eitt år etter at han var ny?
Løysing
Igjen kan vi ikkje vite eksakt kva verdien på bilen var etter eitt år, men vi bruker den gjennomsnittlege vekstfarten til å finne ein tilnærma verdi.
Verdien på bilen etter eitt år var cirka 500 000 kroner.
Kommentar: Nye bilar søkk mest i verdi det første året. Deretter søkk verdien mindre og mindre for kvart år. Mest sannsynleg vil derfor verdien på bilen vere noko mindre enn 500 000 kroner etter eitt år.
VF-2
Ein funksjon
a) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til
Løysing
Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:
Vi skriv inn funksjonen
Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten er 2,5 når
Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:
Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:
b) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til
Løysing
Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:
Vi endrar på punkta
Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten når
Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:
Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:
c) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når
Løysing
Momentan vekstfart grafisk:
Vi skriv inn punktet
Den momentane vekstfarten til
Momentan vekstfart med CAS:
Den momentane vekstfarten til
d) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når
Løysing
Vi vel å bruke CAS.
Den momentane vekstfarten til
VF-3
Funksjonane
a)
Løysing
Vekstfart
b)
Løysing
Vekstfart
c) Kan du løyse oppgåve a) og b) utan å rekne eller teikne graf? Forklar i tilfelle korleis.
Løysing
Sidan ei rett linje har same stigning overalt, vil den gjennomsnittlege vekstfarten bli lik stigningstalet til linja uansett kva punkt vi bruker i utrekninga.
d) Kva kan du seie om den momentane vekstfarten til dei to linjene?
Løysing
Den momentane vekstfarten til linjene må òg vere den same overalt og lik stigningstalet til linjene sidan vekstfarten er den same overalt.
VF-4
Funksjonen
viser høgda i meter til eit morelltre dei 20 første åra
a) Finn grafisk kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.
Løysing
Oppgåva spør etter gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen mellom
Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten
Vi kunne òg ha brukt verktøyet "Stigning" her.
b) Finn vidare kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2019 til 1. mai 2022.
Løysing
Vi skriv inn punkta
Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten
c) Kor mykje vaks treet per år 1. mai 2012?
Løysing
Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at
Treet vaks med 90 cm per år 1. mai 2012.
VF-5
(Eksamen 1P våren 2013, omarbeidd)
Funksjonen
var ein god modell for hjortebestanden i ein kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det
a) Teikn grafen til
Løysing
Vi teiknar grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".
b) Når var hjortebestanden størst, og kor mange hjortar var det i kommunen då?
Løysing
Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finn toppunktet på grafen til
Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Han var då på 867 dyr.
c) Løys likninga
Løysing
Vi legg inn ei linje
Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil seie midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.
d) Kor stor var den gjennomsnittlege endringa i talet på hjortar per år i perioden 1. januar 1994–1. januar 1998?
Løysing
Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finn følgande:
Vi finn at hjortebestanden søkk i gjennomsnitt med 66 dyr kvart år i denne perioden.
e) Kor stor var veksten per år i hjortebestanden 1. januar 1991?
Løysing
Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når
Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.
VF-6
Funksjonen
a) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten når
Løysing
Vi skriv inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstalet til linja mellom dei to punkta.
Den gjennomsnittlege vekstfarten når
b) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten når
Løysing
Den gjennomsnittlege vekstfarten når
c) Samanlikn svara i a) og b). Kva for eit av desse svara gir ein mest korrekt verdi for den momentane vekstfarten når
Løysing
Vi vel å teikne grafen til
Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar
d) Vil det alltid vere slik at vi får ei betre tilnærming til den momentane vekstfarten når avstanden ut til det andre punktet blir mindre?
Løysing
Det vil ikkje alltid vere slik. Studer figuren nedanfor der vi har teikna ein tredjegradsfunksjon
Tangenten
e) Finn til slutt den momentane vekstfarten til funksjonen når
Løysing
Den momentane vekstfarten til funksjonen når
VF-7
Forskarar har undersøkt veksten til tre i eit bestemt skogområde. Det viser seg at høgda til eit tre,
der
a) Kor mykje vaks treet i gjennomsnitt frå år 1 til år 4?
Løysing
Vi må finne gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen i intervallet
Treet vaks i gjennomsnitt 32 cm per år frå år 1 til år 4.
b) Kor stor var veksten til treet i år 4?
Løysing
Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måtar.
Alternativ 1
Vi kan sjå på forskjellen i høgde mellom år 4 og år 5.
I år 4 vaks treet 12 cm.
Alternativ 2
Veksten det fjerde året er tilnærma lik den momentane vekstfarten når
Vi får omtrent det same svaret som i alternativ 1. I år 4 vaks treet 11 cm.
c) Skriv nokre ord om korleis høgda til treet endrar seg frå år til år.
Løysing
Vi teiknar grafen til funksjonen
Ut frå grafen til høgdefunksjonen kan vi lese følgande:
Treet veks raskt dei første to åra. Dei neste fire åra er veksten mindre. Dei siste to åra er veksten igjen mykje større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så minkar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter aukar veksten meir og meir.