Fagstoff

Cosinussetningen

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 14.06.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi skal nå bli kjent med en setning som i enda større grad enn sinussetningen gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete. Beviset for setningen kommer etter eksemplene.

Gitt en trekant ABC. Følgende setning gjelder

Cosinussetningen
(Den utvidete pytagoreiske setning)

a2 =  b2 + c2 −2bc cos A

 

Trekant
I en trekant er kvadratet av en side alltid lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til deres mellomliggende vinkel.
Vi kan altså også skrive setningen på følgende to andre måter
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Vi kan også bruke cosinussetningen til å finne vinkler. Det er da lurt å snu på formelen slik som vist nedenfor.

            a2=b2+c2-2·b·c·cos A2·b·c·cos A=b2+c2-a2        cos A=b2+c2-a22·b·c

De andre vinklene blir da
cos B=a2+c2-b22·a·ccos C=a2+b2-c22·a·b

 

Eksempel

hjelpefigur Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c.

Regn ut siden a når b = 3,5 cm, c = 5,5 cm og A = 35°.

 

Løsning

a2=b2+c2-2bc cos Aa2=3,52+5,52-2·3,5·5,5·cos35oa=3,52+5,52-2·3,5·5,5·cos35oa=3,3 cm

Eksempel

Hjelpefigur
Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c.
Regn ut B når du vet at a = 3,3 cm, b = 3,5 cm og  c = 5,5 cm.


Løsning
                 b2=a2+c2-2ac cos B               3,52=3,32+5,52-2·3,3·5,5·cos B2·3,3·5,5·cos B=3,32+5,52-3,52              cos B=3,32+5,52-3,522·3,3·5,5                B=acos 3,32+5,52-3,522·3,3·5,5                B=37,3o

I det siste eksempelet er det bare cosinussetningen som gir løsning på problemet. Sinussetningen kan ikke brukes her.

Når du bruker cosinussetningen til å finne vinkler, får du alltid bare én løsning. Hvis du bruker sinussetningen, får du to løsninger, og du må selv vurdere hvilke verdier som passer i den aktuelle trekanten.

Bevis for cosinussetningen

hjepefigur
Vi lar først A < 90°.
Vi bruker Pytagoras læresetning på figuren

a2=h2+c-x2a2=h2+c2-2cx+x2a2=h2+x2+c2-2·c·x
Siden h2+x2=b2 og cos A=xb dvs. x=b·cos A,  era2=b2+c2-2c·bcos Aa2=b2+c2-2bc cos A

 

Vi lar så A > 90°.
hjelpefigur
Vi bruker Pytagoras’ læresetning på figuren

a2=h2+c+x2a2=h2+c2+2cx+x2a2=h2+x2+c2+2·c·x

Vi har at h2+x2=b2 ogcos 180o-A=xbcos 180o-A=-cos A-cos A=xbx=-b·cosAa2=b2+c2+2c·-b cos Aa2=b2+c2-2bc cos A

Vi lar så A = 90°.
Da er cos A = 0 og vi får Pytagoras’ setning a2 = b2 + c2.

Vi skjønner da hvorfor cosinussetningen også kalles for den utvidete pythagoreiske setning.

Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt