Fagstoff

Sinussetningen

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete.

Gitt en trekant ABC. Følgende sammenheng gjelder

Hjeplefigur

 

Sinussetningen

 

sin Aa=sin Bb=sin Cc

 

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

 

Bevis for sinussetningen

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut fra hver av de tre vinklene.Sinussetningen

Sett fra hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sin A.
Sett fra hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sin B.
Sett fra hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sin C.

Disse arealene MÅ jo være like store og vi setter

12·b·c·sin A=12·a·c·sin B=12·a·b·sin C2·12·b·c·sin A=2·12·a·c·sin B=2·12·a·b·sin Cb·c·sin A=a·c·sin B=a·b·sin Cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·csin AA=sin BB=sin CC

Eksempel
Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c.

a) Regn ut A når a = 3,0 cm, b = 5,5 cm og B = 60°.
Hjelpefigur

 

Løsning
sin Aa=sin Bbsin A3,0=sin60o5,5sin A=sin60o5,5·3,0sin A=0,4724 A=28,2o

Kommentar

Her kunne du også fått A=180o-28o=151,8o, men da ville vinkelsummen i trekanten blitt større enn 180° fordi 151,8° + 60° = 211,8°. Vi ville da ikke fått noen trekant!

b) Finn siden c.
 

Løsning
Finner først vinkel C

180° - 60° -28,2° = 91,8°

 

    sin Bb=sin Cc  sin60o5,5=sin91,8oc Multipliserer med c.c·sin60o5,5=c·sin91,8oc c·0,1575=0,9995           c=0,99950,1575           c=6,3 cm

 

Legg merke til!

Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen u

u=u0   og   u=180°-u0

I hver enkelt oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes.

Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

  • Vinkelsummen i en trekant skal være 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
  • Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side
Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt

Relatert innhold

Generelt