Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler
Å drøfte en funksjon vil i hovedtrekk si å finne ut så mye som mulig om funksjonen. Drøfting av funksjoner har vi egentlig holdt på med i hele funksjonskapitlet.
Resten av kapitlet handler om å drøfte polynomfunksjoner på grunnlag av den deriverte.
Ved hjelp av regneregler for den deriverte er det mulig å finne ut når grafen til en funksjon stiger, når den synker, og når den har topp- og bunnpunkter. Dette kan altså gjøres ved regning, uten å tegne grafen til funksjonen.
Å finne ut hvor grafen stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.
Drøfting av polynomfunksjoner
Utfordring
Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen 
.
Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.
Finn ut hvilken sammenheng det er mellom fortegnet til tangentens stigningstall, og hvorvidt grafen vokser, avtar eller har topp-/bunnpunkter.
Du vil oppdage at:
Når grafen stiger for voksende x-verdier, er tangentens stigningstall positivt.
Når grafen synker for voksende x-verdier, er tangentens stigningstall negativt.
Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er tangentens stigningstall lik 0.
Siden tangentens stigningstall = den deriverte til funksjonen, betyr dette at:
Når grafen stiger, er den deriverte positiv.
Når grafen synker, er den deriverte negativ.
Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik 0.
Dette betyr videre at vi ved regning kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, når den synker, og når den har topp- eller bunnpunkt. Vi undersøker ganske enkelt fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.
Eksempel 1. Drøfting av polynomfunksjoner
Anbefal