Fagstoff

Momentan vekstfart. Den deriverte funksjonen

Publisert: 24.06.2010, Oppdatert: 25.04.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Graf med detaljer 

Vi skal nå se hvordan vi kan finne en nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til en funksjon i et punkt.

Vi benytter oss av samme prinsipp som vi brukte for å finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten.

Vi tar utgangspunkt i en tilfeldig funksjon f.
Vi tegner grafen til funksjonen, velger en tilfeldig x - verdi og får et punkt på grafen Ax,fx.

Vi ønsker å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne x-verdien.

Vi gir x et tillegg x, og får et nytt punkt på grafen, Bx+x,fx+x.

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.

Vi regner ut stigingstallet for denne linja:

a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx


Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittelig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.

Stigningstallet (brattheten) til denne tangenten forteller hvor fort kurven vokser akkurat her. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten i punktet x,fx eller den deriverte til f i punktet. Vi skriver f'x og leser « f derivert av x».

Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof.

Den deriverte

 

Vi ser på grafen ovenfor.


f'x er den verdien ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmer seg mot når Δx går mot null.

 

Definisjon

 

f'x=limx0yx=limx0fx+x-fxx

 

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.

Definisjonen ovenfor er en lokal definisjon. Den sier noe om verdien av den deriverte i et punkt, nemlig punktet med førstekoordinaten x. Hvis vi nå betrakter alle verdier av x i definisjonsområdet til f, får vi en ny funksjon, den deriverte funksjonen f' som til hver verdi av x har y - verdien f'x. Det er denne funksjonen vi kaller den deriverte funksjonen.
Derivere betyr å utlede eller avlede og f' er en ny funksjon som vi har utledet fra f.

Hvordan finne verdier for momentan vekstfart (den deriverte) grafisk

Graf Den momentane vekstfarten eller den deriverte av fx=x2+2 når foreksempel x = 0,5, er altså det samme som stigingstallet for tangenten til kurva når x = 0,5.

Vi kan finne en verdi for denne vekstfarten grafisk ved å tegne grafen til f og tangenten til f når x = 0,5.

Vi ser at tangenten har stigingstallet 1. Den momentane vekstfarten er altså lik 1 når
x = 0,5.
Den deriverte av f(x) når x = 0,5 er 1. Vi skriver

f'0,5=1.

 

Hvordan regne ut verdier for den deriverte ved å bruke definisjonen

Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til fx=x2+2 når x = 0,5.

Vi husker definisjonen på den deriverte

f'x er den verdien som ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmer seg mot når Δx går mot null.

f'x=limx0yx=limx0fx+x-fxx

Hvordan finner vi så fx+x?
fx+x er det uttrykket du får når du bytter ut x med x+x i funksjonsuttrykket.

Det girGraf   

f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0x+Δx2+2-x2+2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2+2-x2-2Δx=limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0(2x+Δx)=2x

I den siste overgangen skjønner vi at når Δx blir mer og mer lik null, så må jo 2x+Δx bli mer og mer lik 2x. Derfor er grenseverdien for 2x+Δx når Δx går mot null, lik 2x.

Vi har nå funnet at når fx=x2+2,  er f'x=2x

Da kan vi regne ut f'0,5=2·0,5=1.

Den deriverte funksjonen til f, f'x=2x, er en ny funksjon og er definert for alle verdier av x i definisjonsområdet til f.

Vi kan bruke denne funksjonen til å finne den momentane vekstfarten for alle verdier av x  i definisjonsområdet til f.

For eksempel er f'4=2·4=8. Den momentane vekstfarten når x = 4 er lik 8.

Oppgaver

Aktuelt stoff