Momentan vekstfart. Den deriverte
Vi ønsker nå å utvikle en metode for å finne en nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til en funksjon. Vi skal da benytte oss av samme prinsipp som vi brukte for å finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten.
Vi tar utgangspunkt i en tilfeldig funksjon f(x) og plotter grafen til funksjonen. Vi velger en tilfeldig x-verdi og får et punkt på kurven
. 
Vi ser at tangenten har stigningstallet 1. Den momentane vekstfarten er altså lik 1 når x = 0,5. Den deriverte til f(x) når x = 0,5 er 1. Vi skriver: 
.
Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.
Vi regner ut stigingstallet for denne linja:
Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittelig vekstfart fra x til 
.
gå mot 0.Du kan åpne vedlegget Sekant-Tangent.ggb i høyrekolonna i GeoGebra. Der kan du "dra" punktet B langs grafen mot punktet A. Hva ser du?
Du ser at sekanten (grønn) gradvis nærmer seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.
Stigingstallet (brattheten) til denne tangenten forteller hvor fort kurven vokser akkurat her. Vi kaller dette stigingstallet for den momentane veksten eller den deriverte til f. Vi skriver
og leser f-derivert av x. Legg merke til deriverttegnet.
Vi kan formulere definisjonen til den deriverte på følgende måte:
Vi ser på tegninga ovenfor. er den verdien som 
nærmer seg mot når går mot 0.
Husk også at den deriverte er stigingstallet til tangenten.
Husk også at den deriverte og den momentane vekstfarten er det samme.
Hvordan finne verdier for momentan vekstfart (den deriverte) grafisk
Den momentane vekstfarten eller den deriverte av 
når foreksempel x = 0,5, er altså det samme som stigingstallet for tangenten til kurva når x = 0,5.
Vi kan finne en verdi for denne vekstfarten grafisk ved å tegne grafen til f og tangenten til f når x = 0,5.
Vi ser at tangenten har stigingstallet 1. Den momentane vekstfarten er altså lik 1 når x = 0,5. Den deriverte av f(x) når x = 0,5 er 1. Vi skriver: .
Hvordan regne ut verdier for den deriverte ved å bruke definisjonen på den deriverte?
Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til når x = 0,5.
Vi husker definisjonen på den deriverte: er den verdien som nærmer seg mot når går mot 0.
Dette betyr at når , så er 
.Vi kan da finne 
. Dette var det samme som vi fant grafisk.
Anbefal