Fagstoff

Potensfunksjoner

Publisert: 24.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Stabler med mynter i stigende rekkefølge. Foto.  

Live arver 300 000 kroner. Hun vil spare pengene.

Den lokale banken tilbyr en årlig rente på 3 % per år. Dette svarer til en vekstfaktor på 1,03. Live regner det som sannsynlig at hun vil få bruk for pengene om 10 år. Hvor mye vil beløpet ha vokst til etter 10 år?

300 000·1,0310=403 175

Beløpet vil ha vokst til ca. 403 175 kroner.

Live vet at det finnes alternativer til banksparing, og hun vil undersøke hva beløpet kan vokse til etter 10 år, hvis renten er høyre enn 3 %.

Hun ser da at hun kan bruke funksjonen B gitt ved

Bx=300 000·x10

Her er det vekstfaktoren som er den variable, x.

Live tegner grafen til B for x1,03 , 1,12

Potensfunksjoner graf 1  

Av grafen kan hun se at ved en årlig rente på 3 %, vil beløpet vokse til ca. 403 000 kroner etter 10 år. Hvis renten er på 8 % per år, vil beløpet vokse til ca. 648 000 kroner og hvis hun kan få en rente på 11 % per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil hun sitte med ca. 852 000 etter 10 år.

I funksjonsuttrykket Bx=300 000·x10 er x grunntallet i en potens hvor eksponenten er et konstant tall. En slik funksjon kalles for en potensfunksjon.

 

Potensfunksjoner

 

En funksjon f gitt ved fx=a·xb, hvor a  og b er konstante tall, kalles en potensfunksjon.

 

Legg merke til at når b er et ikkenegativt helt tall, er potensfunksjonen også en polynomfunksjon, som for eksempel 2x, 3x2, osv.

Når b er et negativt helt tall, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon, som for eksempel x-4=1x4, 2x-1=2x osv.

Når b ikke er et helt tall, må vi forutsette at x er positiv. Grunnen er at for eksempel x0,5 betyr det samme som x , og kvadratroten av et negativt tall er ikke et reelt tall.

Potensfunksjoner graf 2 Til høyre har vi tegnet grafene til funksjoner gitt på formen 2xb for ulike verdier av b.

Hvorfor går alle grafene gjennom punktet 1,2?

Hvordan ser grafen ut når b=1?

Grafene endrer hovedform etter om b<,0>, b<0,1>eller b<1,>.

Legg merke til at grafen til en potensfunksjon f gitt ved fx=a·xb alltid går gjennom punktet 1,a fordi f1=a·1b=a .

 

Eksempel

Pendel med lodd i en snor. Foto. Når en pendel svinger, er svingetiden, det vil si den tiden det tar fra pendelen slippes til den kommer tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengden på snoren som pendelkulen henger i.

Fra naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetiden T sekunder, som funksjon av snorlengden x meter?

Formelen gir at

T=2πg·x=2πg·x0,5Potensfunksjoner graf 3    

Her er π3,14 og g9,81 (g er tyngdens akselerasjon).

Når vi setter inn disse verdiene i formelen, får vi

T2·3,149,81·x0,5=2,0·x0,5

Svingetiden til en pendel er altså en potensfunksjon av snorlengden.

Vi vet også at x0,5=x, slik at svingetiden kan uttrykkes som

T=2x

Nå er svingetiden uttrykt som en funksjon.

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold

Faglig