Fagstoff

Rasjonale funksjoner

Publisert: 23.06.2010, Oppdatert: 22.02.2016
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Eksempel

Funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2 er en rasjonal funksjon.

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at f(−2) ikke eksisterer. Grafen har ikke noe punkt for x = −2. Vi sier at grafen har et brudd for x = −2.

Vi tegner grafen til f i GeoGebra, skriver også inn kommandoen «Asymptote[f]».Graf

Hva er asymptoter?

Når x nærmer seg verdien −2 fra venstre, ser du av grafen at funksjonsverdiene vokser over alle grenser.

Det kan vises at dette er riktig. Funksjonsverdiene nærmer seg ikke en bestemt verdi når x nærmer seg verdien −2 fra venstre, men blir uendelig store.

Vi skriver

fxnårx-2-

Vi leser «fx går mot uendelig når x går mot −2 fra venstre».

Tilsvarende viser det seg at funksjonsverdiene synker mot minus uendelig når x nærmer seg −2 fra høyre. Vi skiver

fxnår x-2+

Legg merke til + og - som markerer om x nærmer seg −2 fra venstre eller fra høyre.

Du kan undersøke om dette virker sannsynlig ved å sette inn verdier for x som er veldig nær −2.

Grafen til f består av to deler, en del til venstre for linjen x=-2 og en del til høyre for linjen x=-2.
Linjen x=-2 kalles en loddrett, eller vertikal asymptote.

Det kan videre vises at grafen «flater ut» og nærmer seg linjen y=1 når x går mot pluss eller minus uendelig. Det vil si at funksjonsverdiene nærmer seg verdien 1 som grenseverdi når går mot pluss eller minus uendelig, men uten noen gang å bli lik 1.

Den ene delen av grafen nærmer seg linjen ovenfra og den andre delen nedenfra. De to delene av grafen vil aldri krysse linjen. Linjen y=1 er en vannrett, eller horisontal asymptote.

Oppgaver

Generelt