Fagstoff

Hva er en differensiallikning?

Publisert: 25.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Hva er en differensiallikning? 

En vannbeholder inneholder 6000 liter væske. Vi åpner en kran slik at 
30 liter væske renner ut per minutt.

La y(t), eller bare y, være den mengde væske som til enhver tid er igjen på tanken. Vi åpner kranen ved t=0.
Væsken renner ut med en konstant mengde på 30 liter per minutt.
Vannbeholder. Illustrasjon.  Det betyr at yt=-30 L/min er konstant og

y't=-30

Likningen ovenfor inneholder en beskrivelse av hvordan størrelsen y forandrer seg og kalles en differensiallikning.

Å løse differensiallikningen går ut på å finne et uttrykk for y(t). For å klare dette, må vi integrere. Definisjonen av ubestemt integral gir

y'=-30 y=-30 dt y=-30t+C

Uttrykket på høyresiden kjenner du igjen som det ubestemte integralet til en konstant.

Ved t=0 var væskemengden y=6000 L. Det betyr at

     y=-30t+C6000=-30·0+C     C=6000

Likningen som viser resterende væskemengde etter tiden t blir da

y(t)=-30t+6000

Når vi har funnet denne likningen, kan vi for eksempel beregne når tanken går tom ved å sette y(t)=0

           y(t)=0-30t+6000=0               t=200

Tanken går tom etter 200 minutter.

Løsningen av differensiallikningen var en funksjon, en modell som beskriver væskemengden i tanken som funksjon av tiden. Å sette opp og løse differensiallikninger kalles derfor også for å modellere. Overalt innen vitenskap og samfunnsliv er vi ute etter å finne modeller som beskriver sammenhenger mellom størrelser. Modellering ved å løse differensiallikninger regnes derfor ofte som et av de viktigste områdene innenfor matematikkfaget.

For å løse differensiallikningen måtte vi integrere. Å løse differensiallikninger oppfattes av mange som den store praktiske anvendelsen av integrasjon, og derivasjon.

I eksemplet ovenfor forutsatte vi at væskemengden rant ut av tanken med konstant hastighet. Det er kanskje mer realistisk at det renner mindre etter hvert som det blir mindre væske og dermed mindre trykk i tanken. I så fall kunne differensiallikningen vært på formen

y'=k·y

Denne differensiallikning lar seg ikke løse med enkel integrasjon.

De fleste differensiallikninger inneholder både en funksjon og den deriverte til funksjonen. Ofte inneholder de også den dobbeltderiverte til funksjonen. Da kan det være utfordrende å løse likningene.

Dette kapittelet handler om å lære metoder for å løse differensiallikninger.

Du har sett at å løse en differensiallikning går ut på å finne en ukjent funksjon, i motsetning til en vanlig likning hvor oppgaven er å finne en ukjent verdi for en størrelse.

Det er vanlig å kalle den ukjente funksjonen for y og argumentet til funksjonen for x. Vi sløyfer ofte skrivemåtene y(x) og y´(x), og skriver bare y og y´.