Fagstoff

Pris og etterspørsel

Prisen på en vare vil påvirke hvor mange enheter av varen en bedrift får solgt. Hvordan kan vi finne prisen som gir størst overskudd?

Inntekt og pris

Inntektsfunksjonen

En bedrift kan ikke bare bestemme prisen på en vare, forutsette at alt blir solgt, og ut ifra dette beregne den produksjonen som gir størst overskudd. Kanskje prisen er satt så høyt at ikke alle varene blir solgt?

Vi ser på et eksempel fra siden Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon. Klasse 3STB har kommet fram til at inntektsfunksjonen $I$ ved salg av treningsapparatet Multiform er gitt ved

$I (x) = 800 x - 2 x^{2}, D_{I} = [0, 150]$

Inntekten ved salg er alltid lik prisen per enhet multiplisert med antall solgte enheter. Hvis vi forutsetter at alle produserte enheter blir solgt, er $I (x) = p \cdot x$ , hvor $x$ er antall produserte og solgte enheter, og $p$ er prisen per enhet.

Prisfunksjonen

I dette eksempelet kan vi komme fram til en funksjon for prisen $p$ . Ved å faktorisere inntektsfunksjonen får vi at

$I (x) = 800 x - 2 x^{2} = (800 - 2 x) \cdot x$

Det betyr at vi kan se på faktoren $(800 - 2 x)$ som prisen på varen, siden inntekten er pris multiplisert med antall solgte enheter. Prisen blir derfor her en funksjon av antall enheter $x$ .

$p (x) = 800 - 2 x, D_{p} = [0, 150]$

Prisfunksjonen er lineær med negativt stigningstall. Vi ønsker å finne verdimengden $V_{p}$ til prisfunksjonen.

$\begin{array}{rcl} p (0) & = & 800 - 2 \cdot 0 = 800 \\ p (150) & = & 800 - 2 \cdot 150 = 500 \end{array}$

Hva blir verdimengden ut ifra dette?

Verdimengden til prisfunksjonen

Resultatene betyr at prisen varierer mellom 800 og 500 kroner. Verdimengden er altså

$V_{p} = [500, 800]$

Aktivitet

Siden prisen er en funksjon av antall enheter, er antall enheter avhengig av prisen. Endre på likningen $p = 800 - 2 x$ slik at den blir på formen " $x =$ ".

Løsning

$p = 800 - 2 x \Rightarrow 2 x = 800 - p \Rightarrow x = 400 - 0, 5 p$

Tenk over

Hva betyr dette resultatet i praksis?

Betydning

Det betyr at ifølge denne modellen er det prisen som bestemmer $x$ , det vil si at prisen bestemmer hvor mye vi får solgt, og dermed hvor mange enheter vi skal produsere.

Vi vil påpeke at dette er en grov forenkling av hvordan pris og antall produserte og solgte enheter henger sammen i virkeligheten. Til vanlig vil vi heller ikke komme fram til en sammenheng mellom pris og antall solgte enheter ut ifra inntektsfunksjonen, slik vi har gjort her.

Etterspørselen

$x$ er fortsatt antall produserte og solgte enheter. Siden vi forutsetter at alle enheter selges, kan vi kalle antall enheter for etterspørselen, $e$ , i stedet for $x$ . Etterspørselen $e$ er det antallet enheter vi kan forvente å selge når prisen er $p$ . Etterspørselen som funksjon av prisen blir, ut ifra den omsnudde formelen over,

$e (p) = 400 - 0, 5 p, D_{e} = [500, 800]$

Dette kalles for etterspørselsfunksjonen, og denne funksjonen viser hvor mange enheter vi kan få solgt ved en bestemt pris. Produksjonen kan da tilpasses salget.

Kostnad og inntekt som funksjon av pris

Når etterspørselen som funksjon av prisen er $e (p) = 400 - 0, 5 p$ , kan både kostnadene og inntekten skrives som funksjon av prisen. Antall produserte enheter $x$ erstattes direkte av etterspørselen $e$ .

Finn inntektsfunksjonen

Inntektsfunksjoner kan generelt skrives som $I (x) = p \cdot x$ . Hva blir inntektsfunksjonen $I (p)$ i eksempelet vårt?

Inntektsfunksjonen I(p)

$\begin{array}{rcl} I (x) & = & p \cdot x \\ I (p) & = & p \cdot e (p) \\ = & p \cdot (400 - 0, 5 p) \\ = & 400 p - 0, 5 p^{2} \end{array}$

Finn kostnadsfunksjonen

Finn kostnadsfunksjonen $K (p)$ ved å erstatte $x$ med $e (p)$ .

Kostnadsfunksjonen K(p)

$\begin{array}{rcl} K (x) & = & 3 x^{2} + 150 x + 11 000 \\ K (p) & = & 3 {(e (p))}^{2} + 150 e (p) + 11 000 \\ = & 3 {(400 - \frac{1}{2} p)}^{2} + 150 (400 - \frac{1}{2} p) + 11 000 \\ = & 3 (160 000 - 2 \cdot 400 \cdot \frac{1}{2} p + \frac{1}{4} p^{2}) + 60 000 - 75 p + 11 000 \\ = & 480 000 - 1 200 p + \frac{3}{4} p^{2} + 60 000 - 75 p + 11 000 \\ = & \frac{3}{4} p^{2} - 1 275 p + 551 000 \end{array}$

Kostnads- og inntektsfunksjonen med CAS

Bruk CAS til å finne $I (p)$ og $K (p)$ ut ifra etterspørselsfunksjonen $e (p)$ i eksempelet.

I(p) og K(p) med CAS

Skjermutklipp av CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det e av p kolon er lik 400 minus 0,5 p. Dette gjøres så om til e av p kolon er lik minus en halv p pluss 400. På linje 2 står det I av p kolon er lik p e. Resultatet er I av p kolon er lik minus en halv p i andre pluss 400 p. På linje 3 står det K av p kolon er lik 3 e i andre pluss 150 e pluss 11000. Resultatet er K av p kolon er lik 3 fjerdedels p i andre minus 1275 p pluss 551000.

Overskudd som funksjon av pris

Vi viser resten av eksempelet med bruk av CAS. Overskuddsfunksjonen finner vi som før ved å se på forskjellen mellom inntekten og kostnadene. Så finner vi det største overskuddet som toppunktet til funksjonen.

Overskuddsfunksjonen

Bruk CAS, finn overskuddsfunksjonen $O (p)$ og den prisen som gir størst overskudd.

Løsning

Skjermutklipp av CAS-utregning i GeoGebra. På linje 4 står det O av p kolon er lik I minus K. Resultatet er O av p kolon er lik minus 5 fjerdedels p i andre pluss 1675 p minus 551000. På linje 5 står det O derivert av p er lik 0. Svaret med N Løs er p er lik 670.

Siden overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet, vet vi at funksjonen har et toppunkt. Det største overskuddet får elevene derfor når prisen er 670 kroner.

Til slutt regner vi ut hvor stort overskuddet blir med denne prisen, og vi må finne ut hvor mange enheter (trimapparater) vi skal produsere.

Skjermutklipp av CAS-utregning i GeoGebra. På linje 7 står det O av 670 er tilnærmet lik 10125. På linje 8 står det e av 670 er tilnærmet lik 65.

Det maksimale overskuddet er på 10 125 kroner per uke. Etterspørselen ved denne prisen er 65 enheter.

Dette er det samme antall enheter som vi har funnet på siden Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon. Det skyldes at vi tok utgangspunkt i den opprinnelige inntektsfunksjonen $I (x)$ for å komme fram til etterspørselsfunksjonen. I andre situasjoner har vi ingen oppgitt inntektsfunksjon, kun en oppgitt etterspørselsfunksjon.

Grafisk løsning

Vi får det samme resultatet grafisk.

Illustrasjon av et koordinatsystem. X-aksen viser p, pris per enhet i kroner, og har verdier fra 0 til 1300. Y-aksen går fra 0 til 100000 og viser overskuddet i kroner. I av p og K av p er tegnet inn. O av p er også tegnet inn, og denne grafen har et toppunkt med koordinater 670 og 10125.

Vi kan i tillegg finne hvilke priser vi må holde oss innenfor hvis vi skal gå med overskudd. Da kan vi for eksempel finne nullpunktene til overskuddsfunksjonen $O$ .

Tenk over

I utgangspunktet hadde elevene tenkt å selge treningsapparatet til 800 kroner. Hva betyr det at den prisen som gir størst overskudd, er 670 kroner?

Betydning av resultat

Elevene hadde kommet fram til at dersom de skulle selge mye, ville de ikke kunne få like mye for alle apparatene fordi de ikke kunne ta samme pris ved salg til sportsbutikker. Prisen på 670 kroner kan vi derfor tolke som en slags gjennomsnittspris på de 65 treningsapparatene.

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 08.03.2023

Pris og etterspørsel

Inntekt og pris

Inntektsfunksjonen

Prisfunksjonen

Aktivitet

Tenk over

Etterspørselen

Kostnad og inntekt som funksjon av pris

Finn inntektsfunksjonen

Finn kostnadsfunksjonen

Kostnads- og inntektsfunksjonen med CAS

Overskudd som funksjon av pris

Overskuddsfunksjonen

Grafisk løsning

Tenk over

Regler for bruk