Fagstoff

Analyse av funksjoner – begreper

Drøfting eller analyse av en funksjon betyr å finne ut mest mulig om funksjonen. Vi bruker vanligvis den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen i denne analysen. Det grunnleggende om analyse finner du i fagene R1 og S1.

Repetisjon av begreper i forbindelse med analyse av funksjoner

I R1 og S1 bruker vi derivasjon til å analysere funksjoner. Vi starter med å repetere begrepene som brukes.

Eksempel på funksjon

Nedenfor er grafen til funksjon $f$ gitt ved

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}, D_{f} = [1, 4]$

tegnet. Figuren oppsummerer de fleste begrepene i forbindelse med funksjonsanalyse slik det blir gjort i R1 og S1.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til f av x er lik 3 x i fjerde minus 16 x i tredje pluss 18 x i andre er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4. På figuren er ulike begreper definert i forhold til akkurat denne funksjonen. Figuren blir nærmere forklart i den følgende teksten.

Beskrivelse av figuren

Funksjonen har et absolutt maksimum i endepunktet $(- 1, 37)$ . Merk at endepunkter ikke regnes som topp- eller bunnpunkter. Funksjonen har nullpunktene $x = 0, x = 1, 61$ og $x = 3, 72$ . Grafen til funksjonen har bunnpunkter i $(0, 0)$ og i $(3, - 27)$ . I det første bunnpunktet har funksjonen et lokalt minimum eller en lokal minimalverdi. I det andre har funksjonen et lokalt minimum som samtidig er absolutt minimum. Grafen har et toppunkt i $(1, 5)$ der funksjonen har et lokalt maksimum. Funksjonen har sitt absolutte maksimum i endepunktet $(- 1, 37)$ . Grafen til funksjonen har vendepunkter i $(1.45, 2.32)$ og i $(2.22, - 13.36)$ .

De mest grunnleggende begrepene

Hva husker du om disse begrepene?

Nullpunkt
Toppunkt og bunnpunkt
Ekstremalpunkt og ekstremalverdi
Lokalt maksimum / lokal maksimalverdi og absolutt maksimum / absolutt maksimalverdi
Lokalt minimum / lokal minimalverdi og absolutt minimum / absolutt minimalverdi

Prøv å gjøre øvelsen nedenfor uten å bruke figuren øverst eller beskrivelsen av den.

Løsning

Et nullpunkt er førstekoordinaten til et skjæringspunkt mellom grafen til en funksjon og førsteaksen. Et toppunkt er et punkt som har den høyeste andrekoordinaten i et intervall omkring seg. Andrekoordinaten er enten en lokal eller absolutt maksimalverdi eller et lokalt eller absolutt maksimum. Tilsvarende kalles andrekoordinaten til et bunnpunkt en lokal eller absolutt minimalverdi eller et lokalt eller globalt minimum.

Topp- og bunnpunkter har fellesbetegnelsen ekstremalpunkter.

Maksimal- og minimalverdier har fellesbetegnelsen ekstremalverdier.

Et absolutt maksimum er den største verdien en funksjon kan ha i sitt definisjonsområde. Tilsvarende gjelder for et absolutt minimum.

Spørsmål til refleksjon

Hvorfor blir ikke et endepunkt regnet som et topp- eller bunnpunkt?

Forklaring

Et topp- eller bunnpunkt må ha et åpent intervall rundt seg der funksjonen er definert. Det er ikke oppfylt for et endepunkt. Se også figuren øverst på siden.

Kan et absolutt minimum samtidig være et lokalt minimum? Forklar.

Svar

Et absolutt minimum kan samtidig være et lokalt minimum hvis funksjonen er definert på begge sider av minimumet. Punktet kan da ikke være et endepunkt.

Flere begreper

Husker du hva disse begrepene betyr?

Terrassepunkt
Stasjonært punkt
Kritisk punkt
Vendepunkt
Hul side opp og hul side ned

Løsning

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et terrassepunkt. Et kritisk punkt er et punkt der den deriverte enten er null eller ikke eksisterer. En graf vender sin hule side opp når den dobbeltderiverte/andrederiverte er større enn 0, og sin hule side ned når den dobbeltderiverte/andrederiverte er mindre enn 0. Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles en vendetangent.

Du kan repetere analyse av funksjoner i R1 og S1 på oppgavesiden "Blandede oppgaver om funksjonsanalyse".

Funksjonsanalyse ved hjelp av integrasjon

Når vi kan integrere funksjoner, får vi flere måter å analysere funksjoner på. Nedenfor har vi skrevet opp noen eksempler.

Dersom funksjonen står for en eller annen mengde per tidsenhet, kan vi finne samlet mengde i et tidsrom ved hjelp av integrasjon.
Vi kan beregne gjennomsnittsverdien av en funksjon ved hjelp av integrasjon.
Vi kan beregne lengden av en graf (buelengde) ved hjelp av integrasjon (bare for R2).
Vi kan beregne volumet og overflaten av et omdreiningslegeme (en rotasjonssymmetrisk gjenstand) ved hjelp av integrasjon dersom vi kan finne en kjent funksjon som passer til grafen som roteres (bare for R2).

Du kan øve litt på funksjonsanalyse med derivasjon og integrasjon i de tilhørende oppgavene.

CC BY-SASkrevet av Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 13.03.2023