Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon" for å få avgrenset grafen.

Vi skriver inn punktet $$ \left(300,K\left(300\right)\right)$$ i algebrafeltet. På innstillingene til punktet som dukker opp, endrer vi fra å vise navn til å vise verdi.

$$ y$$-koordinaten til punktet gir oss at kostnaden ved å produsere 300 luer er 173 000 kroner.

Vi velger å løse oppgaven med CAS. Enhetskostnadene er gitt ved

$$ E\left(x\right)=\frac{K\left(x\right)}{x}$$

Funksjonen $$ E$$ for enhetskostnadene er

$$ E\left(x\right)=\frac{0,7x^2+200x+50 000}{x}$$

Enhetskostnaden ved produksjon av 400 skiluer er 605 kroner.

Vi finner som vanlig eventuelle bunnpunkter ved å finne nullpunktene til den deriverte. Vi har løst oppgaven med CAS.

Vi har brukt dobbeltderiverttesten i linje 5 for å sjekke at det ene nullpunktet er et bunnpunkt. Siden det ikke er noen andre ekstremalpunkter når $$ x>0$$, vil den laveste enhetskostnaden være i dette punktet, det vil si når det produseres 267 skiluer.

Generelt kan vi ikke si noe om det lønner seg å legge seg på den produksjonen som gir lavest enhetskostnad. Lenger ned i oppgaven skal vi finne den produksjonen som gir størst overskudd.

Leddet $$ 800x$$ er den inntekten bedriften ville fått dersom alle luene kunne selges for 800 kroner stykket. Leddet$$ -0,15x^2$$ er alltid negativt og gir større og større utslag på inntekten jo større $$ x$$ blir. Dette fører til at gjennomsnittsprisen blir mindre og mindre jo større $$ x$$ blir.

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon" for å få avgrenset grafen, akkurat som vi gjorde med kostnadsfunksjonen i oppgave a).

Bedriften går med overskudd i det området der grafen til inntektsfunksjonen $$ I$$ ligger over grafen til kostnadsfunksjonen $$ K$$. Dette kan vi finne ved å finne skjæringspunktene mellom grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt" (eller kommandoen "Skjæring").

Vi får at bedriften må produsere mellom 97 og 609 skiluer for å gå med overskudd.

Vi skriver O(x)=I-K i algebrafeltet og får tegnet overskuddsfunksjonen.

Vi finner nullpunktene med kommandoen eller verktøyet "Nullpunkt".

Nullpunktene til overskuddsfunksjonen er det samme som skjæringspunktene mellom grafene til inntekts- og kostnadsfunksjonen. Dette er fordi når kostnadene er like store som inntektene, er overskuddet 0.

Vi finner toppunktet til overskuddsfunksjonen $$ O $$med verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt".

Vi får at det maksimale overskuddet får bedriften når de produserer 353 skiluer, og da er overskuddet på 55 882 kroner.

Merk at i oppgave d) fant vi at enhetskostnadene var lavest ved en produksjon av 267 skiluer, men som vi ser her, er det en produksjon på 353 skiluer som gir størst overskudd.

Linje 4 gir at kostnaden ved å produsere 300 enheter er 173 000 kroner. Linje 6 gir at bedriften går med overskudd når det produseres fra og med 97 til og med 609 enheter.

Vi vet at overskuddsfunksjonen har et toppunkt siden vi får av linje 3 at den er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Linjene 7 og 8 gir derfor at det største overskuddet skjer når det produseres 353 enheter, og da er overskuddet på 55 882,35 kroner.

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to funksjonene $$ K$$ og $$ I$$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon". Så skriver vi O(x)=I-K for å få fram overskuddsfunksjonen $$ O$$. Vi skjuler grafene til funksjonene $$ K$$ og $$ I$$.

Så finner vi nullpunktene til $$ O$$ ved hjelp av verktøyet eller kommandoen "Nullpunkt".

Vi får at bedriften går med overskudd når det produseres fra og med 26 til og med 187 skrumaskiner i uka.

Løsning med CAS:

Vi får samme løsning. Bedriften går med overskudd når det produseres fra og med 26 til og med 187 skrumaskiner i uka.

Merk at vi må se bort ifra den første løsningen i linje 4 siden negative $$ x$$-verdier ikke gir mening.

Grafisk løsning:

Vi bruker verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" på overskuddsfunksjonen.

Vi får at overskuddet blir størst når bedriften produserer 116 skrumaskiner, og da blir overskuddet på 64 113,50 kroner.

Løsning med CAS:

Vi finner toppunktet til overskuddsfunksjonen ved å finne når den deriverte er lik 0. Så regner vi ut den dobbeltderiverte i det aktuelle nullpunktet i linje 7 for å kontrollere at det er et toppunkt (dobbeltderiverttesten). Vi kan også bruke at for en tredjegradfunksjon med negativ koeffisient foran tredjegradsleddet vil det andre ekstremalpunktet, hvis det eksisterer, være et toppunkt. Til slutt finner vi det største overskuddet i linje 8.

Vi får at overskuddet blir størst når bedriften produserer 116 skrumaskiner, og da blir overskuddet på 64 113,12 kroner.

Vi laster ned GeoGebra-arket og lager en kolonne i regnearket der vi regner ut inntekten, som er antall gressklippere multiplisert med prisen. Så lager vi en kolonne der vi regner ut overskuddet ved å regne ut inntekt minus kostnad.

Formler i regnearket (vi viser bare de tre øverste radene):

Vi får at overskuddet er størst når de monterer og selger 7 gressklippere per dag. Da er overskuddet på 7 650 kroner.

Vi markerer tallene i regnearkdelen og velger regresjonsanalyse. Siden punktene først stiger mindre og mindre og deretter raskere og raskere, prøver vi med en tredjegradsfunksjon, som betyr at vi velger modellen "Polynom" med grad 3.

En kostnadsfunksjon som passer godt med tallene i tabellen, er

$$ K\left(x\right)=58,57x^3-514,62x^2+3450x+8498$$

Vi velger å bruke CAS til oppgaven. Vi skriver inn inntektsfunksjonen I(x)=4950x i CAS og deretter funksjonen O(x)=I-K. Vi finner nullpunktene til $$ O^{\text{'}}\left(x\right)$$ og bruker dobbeltderiverttesten til å sjekke at det aktuelle nullpunktet gir et toppunkt.

Det største mulige overskuddet ut ifra kostnadsfunksjonen er når bedriften monterer og selger 7 gressklippere per dag. Da er overskuddet 7 131 kroner.

Antallet gressklippere som gir størst overskudd, stemmer med det vi fant i oppgave a). Funksjonen gir litt mindre overskudd enn tallene i tabellen. Det er fordi $$ K\left(7\right)=27 519$$, mens i tabellen er kostnaden ved å montere 7 gressklippere 27 000 kroner.

Vi endrer overskuddsfunksjonen til $$ I\left(x\right)=4 250x$$ i CAS-feltet eller algebrafeltet og observerer endringene som skjer i CAS-feltet.

Vi må endre i linje 5 siden løsningen i linje 4 ble litt endret. Siden toppunktet ligger omtrent midt mellom 6 og 7, sjekker vi overskuddsfunksjonen for begge disse $$ x$$-verdiene. Fortsatt vil det ut ifra funksjonen lønne seg å montere og selge 7 gressklippere, men det maksimale overskuddet blir nå 2 231 kroner.

For at vi skal ha et overskudd, må inntektsfunksjonen ligge over kostnadsfunksjonen i et område. Dersom det maksimale overskuddet skal være 0, betyr det at grafen til inntektsfunksjonen tangerer kostnadsfunksjonen i ett punkt. I dette punktet må derfor den deriverte av kostnadsfunksjonen være lik den deriverte av inntektsfunksjonen. I tillegg må kostnadsfunksjonen være lik inntektsfunksjonen i punktet.

Vi lager oss en ny inntektsfunksjon $$ I_2\left(x\right)=p·x$$ med en ukjent pris $$ p$$ i CAS og setter opp de to betingelsene over. Dette gir oss to likninger med to ukjente, $$ x$$ og $$ p$$.

Nedenfor kan du dra i glideren og justere prisen og se hvordan det ser ut når vi er på den laveste mulige prisen som ikke gir tap.

Vi får at den lavest mulige prisen er 3 881 kroner. Problemet er at bedriften ikke kan montere 6,25 gressklippere. For å finne svaret kan vi bruke tallene i tabellen og regne ut hvilken pris som gir null i overskudd når det monteres og selges 6 og 7 gressklippere per dag.

Siden overskuddet er lik inntekter minus kostnader, får vi at

$$ p·x-K=0$$

Den laveste mulige prisen bedriften kan ta og samtidig unngå å gå med tap, er 3 817 kroner. Da må de montere og selge 6 gressklippere per dag.