Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein J. Bjørge

Inntektene og kostnadene til en bedrift vil variere med hvor mye som produseres. Det vil som regel være slik at jo mer som produseres, jo høyere blir både inntekter og kostnader. Overskuddet til en bedrift øker ikke nødvendigvis selv om bedriften får økt salget. Det hjelper ikke at bedriften tjener 5 000 kroner mer ved et økt salg av noen varer dersom det koster 10 000 kroner å produsere de ekstra varene. Bedriften må derfor ha god oversikt over hvordan kostnadene varierer med hvor mye de produserer.

Overskuddet en bedrift får, kan vi regne ut ved å trekke kostnaden ved produksjonen fra inntekten ved salget. Dersom det koster bedriften 20 000 kroner å produsere en viss varemengde og inntekten fra salget er 30 000 kroner, vil overskuddet bli

$$ 30 000 \mathrm{kr}-20 000 \mathrm{kr}=10 000 \mathrm{kr}$$

Vi kan derfor lage oss følgende formel:

Overskudd $$ \mathrm{=}$$ Inntekt $$ -$$ Kostnad

Husk at inntekt ikke er penger de kan stikke rett i lomma! Inntektene må brukes til å betale kostnadene. Så er håpet at det er igjen noe etter at kostnadene er betalt slik at de går med overskudd.

Prøv selv

Hva er inntekten av et salg dersom overskuddet er 45 000 kroner og kostnadene ved produksjonen er 25 000 kroner?

Dersom vi kan lage funksjoner for inntektene og kostnadene, får vi en god oversikt over hvordan overskuddet kan variere med antall. Dersom $$ x$$ står for produsert mengde varer, kan vi sette opp følgende:

• Kostnadsfunksjon: $$ K\left(x\right)$$

• Inntektsfunksjon: $$ I\left(x\right)$$

• Overskuddsfunksjon: $$ O\left(x\right)$$

Sett opp et generelt uttrykk for overskuddsfunksjonen $$ O\left(x\right)$$ ved hjelp av $$ K\left(x\right)$$ og $$ I\left(x\right)$$.

Klasse 3STB ønsker å starte en elevbedrift for å produsere et treningsapparat de kaller Multiform. Vi skal bruke dette som eksempel.

Kostnadsfunksjon

Klassen lar $x$ være antall produserte enheter per uke. De leier et produksjonslokale til 11 000 kroner per uke. Prisen inkluderer utgifter til lys og varme. Denne kostnaden er ikke avhengig av hvor mange enheter som produseres, og kan derfor være et konstantledd i en kostnadsfunksjon.

For hvert treningsapparat som produseres, går det med en bestemt mengde komponenter, som kjøpes inn til enhetspriser. Det kreves også et visst antall arbeidstimer for montering av hver enhet. Klassen beregner disse utgiftene til 150 kroner per enhet, og i en kostnadsfunksjon gir dette førstegradsleddet 150$x$.

Klassen regner med at det enkelte uker blir nødvendig med ekstra høy produksjon. Da kan det bli nødvendig med overtid, og kanskje de må sette flere elever i arbeid med produksjonen. Slike ekstrautgifter vil være lave ved liten produksjon og store ved høy produksjon. Læreren til elevene foreslår derfor at kostnadsfunksjonen også skal inneholde leddet $3x^2$, for da vil kostnadene øke raskere når $$ x$$ blir stor.

Alle er enige om at de med normal innsats vil klare å produsere og selge 130 treningsapparater per uke, men også at de med noen grep kan klare å produsere og selge 150. Det betyr at definisjonsområdet til kostnadsfunksjonen vil være fra og med 0 til og med 150.

Hvis klassen tar utgangspunkt i dette, vil kostnadene per uke ved produksjon av $x$ treningsapparater kunne beskrives med polynomfunksjonen $K$ gitt ved

$$ K\left(x\right)=3x^2+150x+11 000\begin{array}{ccc}& & \end{array} D_K=\left[0,150\right]$$

Elevene er enige om at produksjonskostnadene foreløpig er meget usikre. De er derfor innstilt på å justere modellen når de ser de virkelige utgiftene.

Enhetskostnad

Hvis vi ønsker å regne ut kostnaden per enhet, må vi dele de totale kostnadene på antall produserte enheter. Dette gir følgende funksjon for enhetskostnaden i eksempelet over:

$$ E\left(x\right)=\frac{K\left(x\right)}{x}=\frac{3x^2+150x+11 000}{x}$$

Inntektsfunksjon

Klassen vurderer hvilken pris de skal sette på Multiform. Elevene er enige om at 800 kroner er en passe pris på produktet.

Hva blir inntektsfunksjonen $$ I\left(x\right)$$ ved salg av $$ x$$ enheter ut ifra dette?

Trym er litt skeptisk og sier: "En slik funksjon passer dårlig overens med at når det blir god tilgang på en vare, vil prisen synke. En annen ting er at for å oppnå et stort salg er vi avhengige av å selge større partier til sportsbutikker, som selger videre for oss. Da må vi nok regne med en lavere pris enn om vi selger alt selv."

Klassen er helt enig med Trym, og læreren til elevene foreslår at de må ha et ledd av typen $$ x^2$$ i inntektsfunksjonen slik som i kostnadsfunksjonen. Dette leddet må trekkes fra for at inntektene skal bli mindre når $$ x$$ blir stor. De prøver derfor med inntektsfunksjonen $I$ gitt ved

$I\left(x\right)=800x-2x^2$

Elevene tegner grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$ og finner skjæringspunktene mellom de to grafene.

Hjelp elevene i 3STB med å tolke den grafiske framstillingen. Skriv ned noen punkter om hva du kan lese ut av diagrammet.

Overskuddsfunksjon

For å finne hvor mange treningsapparater elevbedriften skal produsere for å oppnå størst overskudd, kan de finne overskuddsfunksjonen.

Hjelp elevene å finne overskuddsfunksjonen.

Klassen tegner grafen til overskuddsfunksjonen $O$ i samme koordinatsystem som grafene til $K$ og $I$. Da skriver de bare O(x) = I - K i algebrafeltet til GeoGebra siden de har lagt inn inntekts- og kostnadsfunksjonen fra før.

Det største overskuddet må være der grafen til $$ O$$ har et toppunkt. Med verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" finner elevene toppunktet til overskuddsfunksjonen. Resultatet viser at overskuddet er størst ved en produksjon på 65 enheter. Da er overskuddet per uke på 10 125 kroner.

Vi kan også finne det største overskuddet med CAS.

Trenger vi å ha med utregningen i linje 5?