Grensekostnad og grenseinntekt

Grensekostnaden når produksjonen ligger på 500, er det samme som $$ K^{\text{'}}\left(500\right)$$. Dette forteller oss hva det vil koste å produsere nøyaktig ett par hansker til.

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0,4·2x+300\\ & =& 0,8x+300\\ K^{\text{'}}\left(500\right) & =& 0,8·500+300\\ & =& 700\end{array}$$

Grensekostnaden når produksjonen øker fra 500 til 501, er 700 kroner.

Inntekten blir pris multiplisert med antall solgte hansker. Vi går ut ifra at alt blir solgt.

Et uttrykk for inntekten blir

$$ I\left(x\right)=860x$$

Grenseinntekten blir

$$ I^{\text{'}}\left(x\right)=860$$

Grenseinntekten er 860 kroner, uansett hvor mange hansker som produseres og selges.

Grenseinntekten ved en produksjonsøkning fra 500 til 501 er 860 kroner. Grensekostnaden regnet vi ut til 700 kroner i oppgave a). Siden grenseinntekten er større enn grensekostnaden, vil det lønne seg å øke produksjonen fra 500 hansker til 501 hansker.

Overskuddet er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten.

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& I^{\text{'}}\left(x\right)\\ 0,8x+300 & =& 860\\ 0,8x & =& 560\\ x & =& 700\end{array}$$

Vi vet at dette gir produksjonen med størst overskudd siden vi vet fra oppgave c) at $$ I^{\text{'}}\left(500\right)>K^{\text{'}}\left(500\right)$$. Ved en produksjon på 700 hansker har bedriften størst overskudd.

Vi setter $$ K\left(x\right)=I\left(x\right)$$ og løser oppgaven med CAS.

Ved en produksjon på 6 stoler eller 85 stoler vil inntektene og kostnadene være omtrent like store.

Vi må sjekke om grenseinntekten $$ I^{\text{'}}\left(50\right)$$ er større enn grensekostnaden $$ K^{\text{'}}\left(50\right)$$.

Grensekostnaden er betydelig høyere enn grenseinntekten når produksjonen ligger på 50 stoler per dag. Da taper bedriften på å øke produksjonen med 1 stol. Det vil derfor ikke lønne seg å øke produksjonen når den ligger på dette nivået.

Vi setter grenseinntekten lik grensekostnaden.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

For sikkerhets skyld sjekker vi i linje 8 at overskuddet er størst ved 47 enheter, ikke ved 46. Vi vet at dette gir produksjonen med størst overskudd siden vi vet fra oppgave b) at $$ I^{\text{'}}\left(50\right)<K^{\text{'}}\left(50\right)$$ og vi ikke fikk noen andre løsninger i intervallet $$ \left[0,100\right]$$. Overskuddet er størst ved 47 produserte enheter, og da er overskuddet per dag 10 108 kroner.

Inntektene finner vi ved å ta salgsprisen på varen multiplisert med antall enheter av varen som blir solgt.

$$ \begin{array}{rcl}I\left(x\right) & =& P\left(x\right)·x\\ & =& \left(300-0,1x\right)x\\ & =& -0,1x^2+300x\end{array}$$

Vi skriver inn uttrykkene for de to funksjonene i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Vi velger å løse oppgaven grafisk. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" eller kommandoen "Skjæring" for å finne skjæringspunktene mellom grafene. Skjæringspunktene er punktene der inntekten er lik kostnadene.

Grafene viser at inntektene er større enn kostnadene når antall solgte enheter ligger mellom 78 og 855.

Vi får at bedriften går med overskudd dersom produksjonen per uke ligger mellom 78 og 855 enheter.

Vi setter grensekostnaden lik grenseinntekten og løser oppgaven med CAS.

Overskuddet blir størst når det produseres 467 enheter per uke. Vi ser av grafen at det ser riktig ut. Det største mulige overskuddet er 45 333 kroner.

Vi må regne ut $$ P\left(467\right)$$.

$$ P\left(467\right)=300-0,1·467=300-46,70=253,30$$

Prisen på varen skal være 253,30 kroner for at overskuddet skal bli størst mulig.

$$ g_K$$ og $$ g_I$$ er tangenter til henholdsvis grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved samme produksjonsmengde. Stigningstallene til tangentene vil derfor være grensekostnaden og grenseinntekten ved den aktuelle produksjonen, som kan styres med glideren.

Vi har fra teorisiden at det største overskuddet finner vi når grenseinntekten er lik grensekostnaden. Det betyr at vi må finne den $$ x$$-verdien som gjør at de to tangentene er parallelle. Det skjer når $$ x\approx 467$$, som vi visste fra før.

Vi skriver inn funksjonsuttrykket i CAS i GeoGebra og spesifiserer område for $$ x$$. (Vi kunne også ha brukt kommandoen "Funksjon".) Så finner vi nullpunktet til den deriverte.

Vi vet at løsningen i linje 3 gir et toppunkt på inntektsfunksjonen siden koeffisienten foran andregradsleddet til $$ I$$ er negativ.

Den største inntekten bedriften kan få, er 1 375 000 kroner, og dette oppnås ved produksjon og salg av 25 enheter.

Vi finner funksjonsuttrykk for grensekostnadene ved å derivere kostnadsfunksjonene.

$$ \begin{array}{rcl}{K_A}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 3,1·2x-86=6,2x-86\\ {K_B}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 1,9·2x-99=3,8x-99\end{array}$$

Vi skriver inn kostnadsfunksjonene i CAS i GeoGebra og finner toppunktene ved hjelp av grensekostnadene (de deriverte av kostnadsfunksjonene).

Vi vet at når grensekostnadene er 0, har begge funksjonene et bunnpunkt siden koeffisientene foran andregradsleddene er positive.

Vi får at utstyrstype A kan gi den laveste kostnaden på 513 600 kroner. Da må det produseres 14 enheter.

Vi må finne ut hvilken av utstyrstypene som gir størst overskudd. Vi setter grensekostnaden lik grenseinntekten for de to kostnadsfunksjonene.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

I linje 11 regner vi ut overskuddet der grensekostnaden er mest mulig lik grenseinntekten for de to utstyrstypene. Vi får at med utstyrstype B vil overskuddet kunne bli størst med 763 500 kroner. Bedriften bør derfor satse på utstyrstype B.

Merk at selv om kostnadene blir minst med utstyrstype A, blir ikke overskuddet størst med denne utstyrstypen.

Finn funksjoner for grenseinntekt og -kostnad som passer godt med tallene i tabellen.

Vi kan kjøre regresjon for å lage funksjoner som passer best mulig med tallene i tabellen. Vi kan enten skrive inn tallene som ti punkter i algebrafeltet i GeoGebra, eller vi kan overføre tabellen til regnearkdelen, lage liste med punkter og bruke regresjonsanalyseverktøyet. Her har vi valgt det siste.

Vi overfører tabellen til regnearkdelen i GeoGebra og lager liste med punkter. På figuren nedenfor er punktene for grenseinntekt runde og røde, mens punktene for grensekostnad er blå plusstegn.

Punktene ligger på hver sin rette linje, så derfor bruker vi regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær" to ganger for hvert sett med punkt. Dette gir oss to rette linjer. Linja for grensekostnad er kalt $$ g_K$$, og linja for grenseinntekt er kalt $$ g_I$$. Skjæringspunktet mellom linjene er funnet med verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og er det punktet der grensekostnaden er lik grenseinntekten, og dermed det punktet der overskuddet er størst.

Overskuddet blir størst når bedriften produserer og selger 103 snøfresere.

Du kan finne kostnadsfunksjonen $$ K$$ ved å integrere funksjonen for grensekostnad og bruke opplysningen fra bedriften til å bestemme integrasjonskonstanten. Gjør tilsvarende for å finne inntektsfunksjonen. For å bestemme integrasjonskonstanten kan vi bruke at dersom ingen snøfresere produseres, er inntekten lik null.

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi lager oss kostnadsfunksjonen ved å integrere uttrykket for grensekostnad i linje 1. Så bruker vi informasjonen fra bedriften til å finne integrasjonskonstanten $$ c_1$$ (konstantleddet). Vi gjør tilsvarende for å finne inntektsfunksjonen ved å integrere utrykket for grenseinntekt i linje 3. Vi bruker at når produksjonen er 0, er inntekten også 0, til å bestemme integrasjonskonstanten $$ c_2$$. Så lager vi oss nye kostnads- og inntektsfunksjoner ved å erstatte integrasjonskonstantene med løsningen vi har funnet. Til slutt kan vi regne ut det maksimale overskuddet i linje 7.

Det maksimale overskuddet bedriften kan få, er 406 142 kroner.

Enhetskostnaden er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}E\left(x\right) & =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ & =& \frac{0,4x^2+300x+10 000}{x}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0,4·2x+300\\ & =& 0,8x+300\end{array}$$

Vi skriver inn kostnadsfunksjonen i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon". Deretter skriver vi E(x)=K/x for å legge inn enhetskostnadsfunksjonen. Så skriver vi K' for å få tegnet grensekostnadsfunksjonen. Til slutt skriver vi kommandoen Skjæring(E,K',100,200) for å finne skjæringspunktet mellom de to grafene.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Det ser ut som grafene skjærer hverandre i bunnpunktet på grafen til $$ E$$. Det ser altså ut som enhetskostnaden er lavest der $$ E\left(x\right)=K^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Vi deriverer uttrykket ved hjelp av regelen for derivasjon av et brøkuttrykk.

$$ \begin{array}{rcl}{E}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)·1}{x^2}\\ & =& \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)}{x^2}\end{array}$$

Så setter vi den deriverte lik 0 og bruker at skal en brøk være null, må telleren være 0.

$$ \begin{array}{rcl}{E}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)}{x^2} & =& 0\\ x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right) & =& 0\\ x·K^{\text{'}}\left(x\right) & =& K\left(x\right)\\ K^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ K^{\text{'}}\left(x\right) & =& E\left(x\right)\end{array}$$

Dette gjelder for alle stasjonære punkter til $$ E\left(x\right)$$. Dersom funksjonen $$ E\left(x\right)$$ har et bunnpunkt, vil derfor generelt den laveste enhetskostnaden være der hvor enhetskostnaden er lik grensekostnaden. Vi må i hvert tilfelle sjekke at det stasjonære punktet er et bunnpunkt.