Koordinatsystem i tre dimensjoner. Avstand mellom punkter

Skissen kan for eksempel se ut som på bildet.

Punkter som ligger på $$ x$$-aksen, må ha $$ y$$- og $$ z$$-koordinat lik 0. Vi velger $$ \left(5,0,0\right)$$ og $$ \left(-2,0,0\right)$$.

Punkter som ligger på $$ y$$-aksen, må ha $$ x$$- og $$ z$$-koordinat lik 0. Vi velger $$ \left(0,4,0\right)$$ og $$ \left(0,-3,0\right)$$.

Punkter som ligger på $$ z$$-aksen, må ha $$ x$$- og $$ y$$-koordinat lik 0. Vi velger $$ \left(0,0,3\right)$$ og $$ \left(0,0,-2\right)$$.

I $$ xy$$-planet må $$ z$$-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $$ \left(5,2,0\right)$$ og $$ \left(0,4,0\right)$$.

I $$ xz$$-planet må $$ y$$-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $$ \left(-1,0,-2\right)$$ og $$ \left(-2,0,1\right)$$.

I $$ yz$$-planet må $$ x$$-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $$ \left(0,2,-2\right)$$ og $$ \left(0,-3,1\right)$$.

$$ xy$$-planet og $$ xz$$-planet skjærer hverandre i ei linje – $$ x$$-aksen. Vi velger punktene $$ \left(5,0,0\right)$$ og $$ \left(-2,0,0\right)$$ fra oppgave 4.1.1 b) over.

$$ xy$$-planet og $$ yz$$-planet skjærer hverandre i ei linje – $$ y$$-aksen. Vi velger punktene $$ \left(0,4,0\right)$$ og $$ \left(0,-3,0\right)$$ fra oppgave 4.1.1 b) over.

$$ xz$$-planet og $$ yz$$-planet skjærer hverandre i ei linje – $$ z$$-aksen. Vi velger punktene $$ \left(0,0,3\right)$$ og $$ \left(0,0,-2\right)$$ fra oppgave 4.1.1 b) over.

De tre koordinatplanene møtes i ett punkt: origo. Det finnes derfor ikke to punkter som oppfyller kriteriene, bare ett.

Siden $$ z$$-koordinatene er 0, vil begge punktene ligge i $$ xy$$-planet.

Punktet $$ C$$ kan for eksempel ha $$ x$$-koordinaten til $$ B$$ og $$ y$$-koordinaten til $$ A$$, det vil si at $$ C=\left(5,1,0\right)$$.

Finner du flere løsninger?

Dersom punktet $$ D$$ ligger rett over enten $$ A$$ eller $$ B$$, vil de tre punktene utgjøre en rettvinklet trekant. Hvis $$ D$$ ligger for eksempel rett over $$ A$$ med avstand 2, betyr det at koordinatene til $$ D$$ er lik koordinatene til $$ A$$ med unntak av at $$ z$$-koordinaten til $$ D$$ må være 2. Vi får at $$ D=\left(1,1,2\right)$$.

Du kan snu på koordinatsystemet ved å dra i det.

Punktet har koordinatene $$ \left(-2,3,1\right)$$.

Ta utgangspunkt i at $$ P=\left(x,y,z\right)$$.

Siden $$ C$$ ligger i $$ xy$$-planet rett under punktet $$ P$$, må $$ z$$-koordinaten til $$ C$$ være lik 0, mens de to andre koordinatene må være lik tilsvarende koordinater i $$ P$$. Derfor får vi

$$ C=\left(x,y,0\right)$$

Siden $$ D$$ ligger på $$ x$$-aksen, må $$ y$$- og $$ z$$-koordinaten til punktet være 0. Linjestykket $$ CD$$ står normalt (vinkelrett) på $$ x$$-aksen. Da må de to punktene $$ C$$ og $$ D$$ ha samme $$ x$$-koordinat. Derfor får vi

$$ D=\left(x,0,0\right)$$

$$ OD$$ har derfor lengde lik $$ \left|x\right|$$. Siden $$ CD$$ er parallell med $$ y$$-aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i $$ y$$-koordinater mellom $$ C$$ og $$ D$$, altså $$ \left|y\right|$$. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}OD & =& \left|x\right|\\ CD & =& \left|y\right|\end{array}$$

Vi kan bruke pytagorassetningen på linjestykkene $$ OC$$, $$ OD$$ og $$ CD$$ siden de utgjør en rettvinklet trekant. Da får vi

$$ OC=\sqrt{O{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{{\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$

Vi kan igjen bruke pytagorassetningen på linjestykkene $$ OP, OC$$ og $$ CP$$. Siden $$ CP$$ er parallell med $$ z$$-aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i $$ z$$-koordinater mellom $$ C$$ og $$ P$$, altså $$ \left|z\right|$$. Vi får

$$ OP=\sqrt{O{C}^2+C{P}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2+{\left|z\right|}^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Vi kan bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.

Linjestykket $$ AD$$ er parallelt med $$ x$$-aksen og vil derfor ha lengde lik absoluttverdien av forskjellen i $$ x$$-koordinater. Tilsvarende får vi for linjestykket $$ CD$$. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}AD & =& \left|x_2-x_1\right|\\ CD & =& \left|y_2-y_1\right|\end{array}$$

Dette gir oss

$$ \begin{array}{rcl}AC & =& \sqrt{A{D}^2+C{D}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\end{array}$$

Tilsvarende får vi at $$ BC=\left|z_2-z_1\right|$$. Dersom vi bruker pytagorassetningen på nytt, får vi

$$ \begin{array}{rcl}AB & =& \sqrt{A{C}^2+B{C}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\end{array}$$

Med avstand menes alltid den korteste mulige avstanden. Avstanden fra $$ A$$ til $$ xy$$-planet er lik avstanden fra punktet $$ A$$ til punktet $$ B$$ på figuren nedenfor. Vi kan bruke formelen vi fant i forrige oppgave, men siden $$ B$$ ligger i $$ xy$$-planet rett under $$ A$$, blir avstanden lik absoluttverdien av $$ z$$-koordinaten til $$ A$$. Se figuren nedenfor.

Ved å gjøre tilsvarende betraktning med de to andre koordinatplanene får vi at avstanden fra $$ A$$ til $$ xz$$-planet blir lik absoluttverdien av $$ y$$-koordinaten til $$ A$$, og avstanden fra $$ A$$ til $$ yz$$-planet blir lik absoluttverdien til $$ z$$-koordinaten til $$ A$$. Dette gir disse resultatene:

• Avstand fra $$ A$$ til $$ xy$$-planet: $$ \left|z\right|=3$$

• Avstand fra $$ A$$ til $$ xz$$-planet: $$ \left|y\right|=4$$

• Avstand fra $$ A$$ til $$ yz$$-planet: $$ \left|x\right|=5$$

Vi begynner med avstanden til $$ x$$-aksen. Den korteste mulige avstanden til $$ x$$-aksen blir lengden av linjestykket $$ A{P}_x$$ på figuren nedenfor.

Sammen med punktet $$ B$$ danner punktene $$ A$$ og $$ P_x$$ en rettvinklet trekant der katetene har lengde lik $$ \left|y\right|$$ og $$ \left|z\right|$$. Det betyr at avstanden fra $$ A$$ til $$ x$$-aksen blir

$$ \sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Tilsvarende blir avstanden fra $$ A$$ til $$ y$$-aksen lik lengden av linjestykket $$ A{P}_y$$:

$$ \sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+3^2}=\sqrt{34}$$

Vi kan tilsvarende tenke oss et punkt $$ P_z$$ på $$ z$$-aksen slik at linjestykket $$ A{P}_z$$ står vinkelrett på $$ z$$-aksen. Avstanden fra $$ A$$ til $$ z$$-aksen blir derfor

$$ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+4^2}=\sqrt{41}$$

Her kan vi bruke formelen for avstand mellom et punkt og origo. Avstanden blir

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{x^2+y^2+z^2} & =& \sqrt{{\left(-5\right)}^2+4^2+3^2}\\ & =& \sqrt{50}\\ & =& \sqrt{2·25}\\ & =& 5\sqrt{2}\end{array}$$

Her bruker vi avstandsformelen $$ \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$. Vi kaller origo $$ O$$.

Punkt $$ A$$:

$$ OA=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$$

Punkt $$ B$$:

$$ OB=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{1+9+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}$$

Punkt $$ C$$:

$$ OA=\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}$$

Her bruker vi avstandsformelen $$ \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$$

$$ \begin{array}{rcl}AB & =& \sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{16+1+\frac{1}{4}}\\ & =& \sqrt{\frac{69}{4}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{69}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}AC & =& \sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{1+16+4}\\ & =& \sqrt{21}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}BC & =& \sqrt{{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2+{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{25+25+\frac{9}{4}}\\ & =& \sqrt{\frac{209}{4}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{209}\end{array}$$