Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker

På figuren ser du et stort kvadrat med sidelengder lik 2 og areal lik 4. Det store blå rektanglet, som vi kaller $$ a_1$$, er halvparten av kvadratet og har dermed arealet 2.

Det røde kvadratet, som vi kaller $$ a_2$$, er en fjerdedel av det store kvadratet og har arealet 1.

Hvor stort er arealet av $$ a_3, a_4 \mathrm{og} a_5$$?

Hvis vi legger sammen arealene til de fargede firkantene, får vi summen av ei endelig geometrisk rekke, der  $$ a_1=2 \mathrm{og} k=\frac{1}{2}$$. Summen av de 5 første leddene er

$$ S_5 = 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = 3,875$$

Men hva skjer hvis vi fortsetter å legge til halvparten av det som står igjen av kvadratet? Summen av de 10 første leddene i rekka er

$S_{10}=\sum _{n=1}^{10}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 3,99609375$

Summen av de 30 første leddene i rekka er

$S_{30}=\sum _{n=1}^{30}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 3,99999999627470$

Hvis vi regner ut summen av de 100 første leddene, får vi

$S_{100}=\sum _{n=1}^{100}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 4$

Det skal ikke så mange ledd til før summen blir tilnærmet lik tallet 4. Det er begrenset hvor mange sifre vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrundet til 4 når vi får mange nok ledd.

Uansett hvor mange ledd vi tar med, vil aldri summen overstige tallet 4. Prøv selv, og tenk over hvorfor det må være sånn.

Vi kan forklare dette matematisk ved å se på grenseverdien til uttrykket for summen av den endelige geometrisk rekka:

$\begin{array}{rcl}{S}_n& = & a_1·\frac{k^n-1}{k-1}=2·\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{\frac{1}{2}-1}=2·\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{-\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& -4·\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1\right)=-4·\left(\frac{1}{2^n}-1\right)=4·\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\end{array}$

Når $n$ blir veldig stor, vil leddet $\frac{1}{2^n}$ bli mindre og mindre, og summen vil derfor nærme seg 4, men summen vil alltid være litt mindre enn 4. Summen av den uendelige geometriske rekka vil altså bli

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=4$

I eksemplet over ser vi at summen til den uendelige geometriske rekka nærmer seg en bestemt verdi når  $$ n\to \infty $$. Vi sier at rekka konvergerer. Hvis ei rekke ikke nærmer seg noen bestemt sum når  $$ n\to \infty $$, sier vi at rekka divergerer.

La oss se på hva som skjer med summen av ei geometrisk rekke der  $$ a_1=2 \mathrm{og} k=3$$. Vi får at

$$ S_n=a_1·\frac{k^n-1}{k-1}=2·\frac{3^n-1}{3-1}=3^n-1$$

Hva skjer med grenseverdien til $$ S_n$$ når vi lar $$ n$$ gå mot uendelig?

Det virker altså som at det er verdien av $$ k$$ som avgjør om ei geometrisk rekke konvergerer eller ikke. La oss se nærmere på summeformelen for geometriske rekker:

$$ S_n=a_1·\frac{k^n-1}{k-1} \mathrm{når} k\ne 1$$

Vi legger merke til at det bare er leddet $$ k^n$$ som vil endre seg når $$ n$$ endrer seg. Det betyr at for å finne ut hva slags verdier av $$ k$$ som gir ei konvergerende rekke, må vi se nærmere på hva som skjer med dette leddet når $$ k$$ endrer seg og $$ n$$ går mot uendelig.

Hvilke verdier tror du er de kritiske verdiene for $$ k$$? Tenk gjennom det før du leser videre!

Vi begynner med å se på alle de tilfellene der summen til den uendelige geometriske rekka ikke går mot noen bestemt verdi, altså at den divergerer. Vi viser at grenseverdien  $$ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$  ikke eksisterer for disse tilfellene. Legg merke til at vi forutsetter at  $$ a_1\ne 0$$.

Når 𝙠 = –1

Vi setter inn $$ -1$$ for $$ k$$ i summen og får

$$ S_n=a_1·\frac{(-1{)}^n-1}{-1-1}$$

Summen vil bli $a_1$ dersom $$ n$$ er oddetall, og 0 dersom $$ n$$ er partall. Da eksisterer det ikke noen bestemt grenseverdi for summen.

Når 𝙠 < –1  eller  𝙠 > 1

Vi ser på hva som skjer med grenseverdien til summen når vi lar $$ n$$ gå mot minus uendelig:

$$ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1·\frac{k^n-1}{k-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1}{k-1}·\left(k^n-1\right)$$

Når  $$ k<-1$$, vil  $$ \left|k^n\right|\to \infty \mathrm{når} n\to \infty $$.

Når  $$ k>1$$, vil  $$ k^n\to \infty \mathrm{når} n\to \infty $$.

Når 𝙠 = 1

Når  $k=1$, blir summen av den endelige rekka $S_n=n·a_1$. Lar vi $$ n$$ gå mot uendelig, ser vi at summen også vil gå mot uendelig.

Dette betyr at dersom  $$ k=\pm 1, k>1$$  eller  $$ k<-1$$, vil grenseverdien for summen ikke eksistere, og vi vil få ei geometrisk rekke som divergerer.

Vi har nå ett område igjen å undersøke. Vi ser på grenseverdien til summen av den geometriske rekka dersom  $k\in \langle -1, 1\rangle$. Vi så over at i disse tilfellene vil  $k^n\to 0 \mathrm{når} n\to \infty$. Summen av rekka blir da

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1·\frac{k^n-1}{k-1}=a_1·\frac{0-1}{k-1}=\frac{-a_1}{k-1}=\frac{a_1}{1-k}$

Rekka går altså mot en bestemt sum og er derfor konvergent. Vi kan nå formulere en setning som oppsummerer:

Til nå har vi bare jobbet med geometriske rekker der kvotienten er et gitt tall. I den uendelige geometriske rekka

$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+... x\ne 0$

er kvotienten  $k=\frac{1}{x}$, altså en variabel. Vi vet at ei geometrisk rekke konvergerer dersom  $k\in \langle -1, 1\rangle$, og det betyr at rekka konvergerer når $\frac{1}{x}\in ⟨-1, 1⟩$. Vi må dermed løse en dobbeltulikhet for å finne for hvilke verdier av $x$ rekka konvergerer:

$$ -1<\frac{1}{x}<1$$

Dobbeltulikheten kan løses som to enkle ulikheter:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rclcccccrcl}-1& <& \frac{1}{x}& & & & & & \frac{1}{x}& <& 1\\ -1-\frac{1}{x}& <& 0& & & & & & \frac{1}{x}-1& <& 0\\ \frac{x+1}{x}& >& 0 & & & & & & \frac{1-x}{x}& <& 0\end{array} \\ \end{gathered}$$

Den venstre ulikheten gir at $x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨0, \to ⟩$.

Den høyre ulikheten gir at $x\in ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Rekka konvergerer i det intervallet som oppfyller begge disse ulikhetene samtidig. For å få oversikt kan vi tegne en figur:

Det betyr at rekka konvergerer når

$x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨1, \to ⟩$

Disse verdiene kalles konvergensområdet til rekka.

Vi kan nå finne summen av rekka ved hjelp av formelen for sum av konvergerende geometriske rekker:

$\begin{array}{rcl}S\left(x\right)& = & \frac{a_1}{1-k}\\ & & \\ S\left(x\right)& =& \frac{1}{1-\left(\frac{1}{x}\right)}\\ & & \\ S\left(x\right)& =& \frac{x}{x-1}\end{array}$

Summen er en funksjon av $x$. Husk at funksjonens definisjonsmengde er konvergensområdet til rekka!