Aritmetiske og geometriske følger

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{a}_3-a_2 & =& 5-3=2\\ a_2-a_1 & =& 3-1=2\end{array}$$

Vi har lik differanse mellom leddene, altså har vi en aritmetisk følge.

Vi har at

$$ $ \begin{array}{rcl}\frac{a_3}{a_2} & =& \frac{20}{10}=2\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{10}{5}=2\\ & & \end{array}$$$

Forholdene mellom to påfølgende ledd er like, altså har vi en geometrisk følge.

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_3}{a_2} & =& \frac{27}{9}=3\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{9}{3}=3\end{array}$$

Forholdene mellom to påfølgende ledd er like, altså har vi en geometrisk følge.

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{a}_3-a_2 & =& 81-90=-9\\ a_2-a_1 & =& 90-99=-9\end{array}$$

Differansen mellom alle påfølgende ledd er lik, så vi har en aritmetisk følge.

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_4}{a_3} & =& \frac{16}{-8}=-2\\ \frac{a_3}{a_2} & =& \frac{-8}{4}=-2\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{4}{-2}=-2\end{array}$$

Forholdene mellom påfølgende ledd er alltid det samme, altså har vi en geometrisk følge.

Vi sjekker differansen først:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_3-a_2 & =& -\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{12}\\ a_2-a_1 & =& -\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}\end{array}$$

Differansen er ikke lik, vi sjekker forholdet:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_3}{a_2} & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle -\frac{1}{3}}}=\frac{3}{4}\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{2}{3}\end{array}$$

Forholdene mellom to påfølgende ledd er ikke lik.

Vi har altså hverken en aritmetisk eller en geometrisk følge.

Vi har

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_3}{a_2} & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=-\frac{1}{2}\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Forholdene mellom to påfølgende ledd er like, så vi har en geometrisk følge.

Vi sjekker differansen:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_2-a_1 & =& -3-(-1)=-2\\ a_3-a_2 & =& -6-(-3)=-3\end{array}$$

Vi sjekker forholdene:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_2}{a_1} & =& \frac{-3}{-1}=3\\ \frac{a_3}{a_2} & =& \frac{-6}{-3}=3\\ \frac{a_4}{a_3} & =& \frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}\end{array}$$

De påfølgende forholdene er ikke like, så følgen er hverken aritmetisk eller geometrisk.

Legg merke til at vi ikke behøvde å sjekke alle differansene; vi kan slutte med en gang vi får en differanse som er ulik. Siden vi begynte å finne to like forhold, måtte vi sjekke det siste forholdet også for å slå fast at rekka heller ikke var geometrisk.

Vi finner først den rekursive og så den eksplisitte formelen i hver følge:

a)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}+2\\ & & \\ a_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 1+2(n-1)\\ & =& 1+2n-2\\ & =& 2n-1\end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}·k\\ & =& 2a_{n-1}\\ & & \\ a_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 5·2^{n-1}\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}·k\\ & =& 3a_{n-1}\\ & & \\ a_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 3·3^{n-1}\\ & =& 3^n\end{array}$$

d)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}+d\\ & =& a_{n-1}+(-9)\\ & =& a_{n-1}-9\\ & & \\ a_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 99+(-9)(n-1)\\ & =& 99-9n+9\\ & =& 108-9n\end{array}$$

e)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}·k^{n-1}\\ & =& a_{n-1}·(-2)\\ & =& -2·a_{n-1}\\ & & \\ a_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& (-2)·(-2{)}^{n-1}\\ & =& (-2{)}^n\end{array}$$

g)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_{n-1}·k^{n-1}\\ & =& a_{n-1}·\left(-\frac{1}{2}\right)\\ & =& -\frac{1}{2}{a}_{n-1}\\ & & \\ a_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& \left(-\frac{1}{2}\right)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\\ & =& {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$$

Legg merke til at de tre siste geometriske rekkene hadde vi  $$ a_1=k$$. Disse tilfellene kan alltid skrives som $$ k^n$$.

Vi ser at differansen mellom hvert ledd er 4, så vi har en aritmetisk følge.

Den rekursive formelen til en aritmetisk følge er gitt ved $$ a_1$$ og  $$ a_n=a_{n-1}+d$$.

Dette gir

$$ a_1=5, a_n=a_{n-1}+4$$

Den eksplisitte formelen for en aritmetisk følge er gitt ved  $$ a_n=a_1+d(n-1)$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 5+4(n-1)\\ & =& 5+4n-4\\ & =& 4n+1\end{array}$$

Vi setter inn i den eksplisitte formelen:

$$ a_{100}=4·100+1=401$$

Vi sjekker om vi får en heltallig $$ n$$ ved å sette inn tallene for $$ a_n$$ i formelen:

$$ \begin{array}{rcl}505 & =& 4n+1\\ 504 & =& 4n\\ n & =& \frac{504}{4}=126\\ & & \\ 603 & =& 4n+1\\ 602 & =& 4n\\ n & =& \frac{602}{4}=150,5\end{array}$$

Vi ser at 505 er tall nummer 126 i følgen, mens 603 ikke er i følgen.

Den rekursive formelen for en aritmetisk følge er gitt ved  $$ a_n=a_{n-1}+d$$. Dermed kan vi lese ut at differansen er $$ -3$$.

Vi har at  $$ a_1=1$$.

Det gir følgende eksplisitte formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 1+(-3)(n-1)\\ & =& 1-3n+3\\ & =& 4-3n\end{array}$$

Vi vet at differansen mellom to etterfølgende ledd er $$ -3$$. Fra $$ a_{10}$$ til $$ a_{30}$$ er det 20 ledd. Da har vi at differansen er  $$ -3·20=-60$$.

Vi kan vise at dette stemmer ved å regne ut de to leddene:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_{10} & =& 4-3·10\\ & =& 4-30\\ & =& -26\\ & & \\ a_{30} & =& 4-3·30\\ & =& 4-90\\ & =& -84\end{array}$$

$$ a_{30}-a_{10}=-86-(-26)=-60$$

Vi har at  $$ a_{12}-a_5=45-24=21$$  og at  $$ 12-5=7$$. Vi har at

$$ d=\frac{a_{12}-a_5}{7}=\frac{21}{7}=3$$

Alternativt kan vi løse dette som en likning:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_{12}-a_5 & =& a_1+11d-(a_1+4d)\\ 45-24 & =& 7d\\ \frac{21}{7} & =& d\\ d & =& 3\end{array}$$

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1+4d\\ a_1 & =& 24-4·3\\ & =& 24-12\\ & =& 12\end{array}$$

Rekursiv:

$$ a_1=12, a_n=a_{n-1}+3$$

Eksplisitt:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 12+3\left(n-1\right)\\ & =& 12+3n-3\\ & =& 3n+9\end{array}$$

Vi finner forholdene mellom de påfølgende leddene:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_3}{a_2} & =& \frac{-12}{6}=-2\\ \frac{a_2}{a_1} & =& \frac{6}{-3}=-2\end{array}$$

Vi ser at forholdet er det samme, og vi har en geometrisk følge med  $$ k=-2$$.

Rekursiv:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_1 & =& -3\\ a_n & =& a_{n-1}·(-2)\\ & =& -2·a_{n-1}\end{array}$$

Eksplisitt:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& -3·(-2{)}^{n-1}\end{array}$$

Vi har at  $$ a_8=a_4·k^4$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}6561 & =& 81·k^4\\ k^4 & =& \frac{6561}{81}\\ k & =& \pm \sqrt[4]{81}\\ k & =& \pm 3\end{array}$$

Vi har altså to ulike muligheter for $$ k$$.

Vi har at  $$ a_4=a_1·k^3$$. Dette gir

enten

$$ \begin{array}{rcl}81 & =& a_1·3^3\\ a_1 & =& \frac{81}{27}=3\end{array}$$

eller

$$ \begin{array}{rcl}81 & =& a_1·(-3{)}^3\\ a_1 & =& \frac{81}{-27}=-3\end{array}$$

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1+4d\\ 32 & =& a_1 + 4·2\\ 32-8 & =& a_1\\ a_1 & =& 24\end{array}$$

Eksplisitt formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + d(n-1)\\ & =& 24+2(n-1)\\ & =& 24+2n-2\\ & =& 2n+22\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1·k^4\\ 32 & =& a_1·2^4\\ \frac{32}{16} & =& a_1\\ a_1\hspace{0.17em}& =& 2\end{array}$$

Eksplisitt formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 2·2^{n-1}\\ & =& 2^n\end{array}$$