Aritmetiske og geometriske rekker

Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge sammen leddene i en følge. Dersom vi legger sammen leddene i en aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.

Et eksempel på ei slik rekke er

$2+5+8+11+ ...$

Vi ser at differansen $d$ mellom et ledd og det foregående leddet er 3.

Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer $n, a_n,$ i en aritmetisk tallfølge ved formelen

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

Denne formelen gjelder på samme måte for ledd nummer $n$ i ei aritmetisk rekke.

Vi har sett hvordan vi kan regne ut summer av rekker ved hjelp av digitale hjelpemidler dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for $$ a_n$$. For noen typer av rekker finnes det kjente formler også for summen av de $$ n$$ første leddene. Det gjelder blant annet de aritmetiske rekkene.

Vi ønsker å finne en formel for summen av de $n$ første leddene i ei aritmetisk rekke. Vi finner først en formel for summen av de 5 første leddene.

Vi skriver summen av de 5 første leddene på to måter: først leddene i stigende rekkefølge, så leddene i synkende rekkefølge.

$\begin{array}{l}{S}_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ \\ S_5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1\end{array}$

Vi summerer venstresidene og høyresidene og får

$S_5+S_5=(a_1+a_5)+(a_2+a_4)+(a_3+a_3)+(a_4+a_2)+(a_5+a_1)$

I parentesene på høyresiden vil de blå leddene til venstre i hver parentes øke med $d$ for hver parentes fra venstre mot høyre, mens de røde leddene til høyre i parentesene vil avta med $d$. Det betyr at summene i hver av parentesene er like.

$(a_1+a_5)=(a_2+a_4)=(a_3+a_3)=(a_4+a_2)=(a_5+a_1)$

Høyresiden blir da lik  $5·\left(a_1+a_5\right)$, og siden venstresiden kan skrives som  $2·S_5$, får vi at

$2·S_5=5·\left(a_1+a_5\right)$

Ved å dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet får vi

$$ S_5=5·\frac{a_1+a_5}{2}$$

Resonnementet over gjelder også om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Den generelle utledningen skal du gjøre i en oppgave.

Tilsvarende som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere leddene i en geometrisk følge. Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer $$ n$$ i en geometrisk følge ved hjelp av formelen

$a_n=a_1·k^{n-1}$

Denne formelen gjelder også for ledd nummer $n$ i ei geometrisk rekke. Et eksempel på ei uendelig geometrisk rekke kan være

$3+9+27+81+243+729+2187+6561+...$

Vi ser at  $$ a_1=3$$, og vi kan finne $$ k$$ ved å dele hvilket som helst ledd med det foregående. Vi velger å dele $$ a_2$$ på $$ a_1$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{3}=3$$

Også for geometriske rekker kan vi finne en formel for summen av de $$ n$$ første leddene. Vi finner først summen av de 5 første leddene.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}{S}_5& = & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ & & \\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4\end{array}$

Vi multipliserer begge sidene i likningen med $k$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5& = & k·(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & & \\ & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\end{array}$

Vi finner så differansen mellom $k·S_5 \mathrm{og} S_5$:

$$ \begin{array}{rcl}k·S_5-S_5 & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+\cancel{a_1·k^3}+\cancel{a_1·k^4}+a_1·k^5\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2}-\cancel{a_1·k^3}-\cancel{a_1·k^4}\end{array}$$

Her opptrer de fleste leddene i par der vi har ledd med samme verdi, men motsatt fortegn. Det gjør at de faller bort. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}k·S_5-S_5& = & a_1·k^5-a_1\\ & & \\ S_5(k-1)& =& a_1(k^5-1)\\ & & \\ S_5& =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\end{array}$$

Vi kan ikke ha en brøk med null i nevneren. Derfor gjelder formelen bare når  $k\ne 1$. Dersom  $k=1$, blir alle leddene i rekka like. Summen av rekka blir da  $S_5=5·a_1$.

Resonnementet over gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Vi får derfor formelen under.

Denne generelle formelen skal du utlede i en oppgave.

Vi skal se på et eksempel der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der  $$ a_1=5$$  og  $$ d =7$$. Først skal vi regne ut $$ S_8$$ ved hjelp av formelen vi viste over. Etterpå skal vi finne ut om 495 er et ledd i rekka, og om det finnes en $$ n$$ slik at  $$ S_n=495$$.

For å finne $$ S_8$$ trenger vi å finne $$ a_8$$. Den enkleste måten å gjøre det på er å først finne $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 5+7\left(n-1\right)\\ & =& 5+7n-7\\ & =& 7n-2\\ a_8 & =& 7·8-2\\ & =& 56-2=54\end{array}$$

Så setter vi inn i formelen for $$ S_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_8 & =& 8·\frac{a_1+a_8}{2}\\ & =& \frac{8·(5+54)}{2}\\ & =& 4·59\\ & =& 236\end{array}$$

For å kunne finne ut om et tall er et ledd i ei rekke (eller en følge), kan vi sette den eksplisitte formelen for $$ a_n$$ lik tallet, her 495, og vi løser likningen. Dersom vi får en heltallig $$ n$$, betyr det at 495 er et ledd i rekka.

På samme måte må vi finne en heltallig $$ n$$ som løsning på likningen  $$ S_n=495$$  for at vi kan ha en slik sum.

Tenk gjennom hvorfor vi må ha hele $$ n$$ før du leser videre!

Vi setter $$ a_n$$ lik 495 og løser likningen:

$$ \begin{array}{rcl}7n-2 & =& 495\\ 7n & =& 497\\ n & =& \frac{497}{7}\\ n & =& 71\end{array}$$

Vi ser at vi får en heltallig $$ n$$ og dermed har vi at 495 er et ledd i rekka. Vi ser også at det er ledd nummer 71.

Vi sjekker om det finnes en $$ n$$ slik at vi har  $$ S_n=495$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(5+7n-2\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(7n+3\right)}{2}\\ 495 & =& \frac{7n^2+3n}{2}\\ 990 & =& 7n^2+3n\\ & & \\ & & \end{array}$$

Vi løser likningen i GeoGebra:

Vi ser at vi ikke får hele tall som løsninger, og dermed kan vi slå fast at vi ikke har en slik $$ n$$. Det vil si det samme som at summen av rekka vår aldri kan bli 495.