Aritmetiske og geometriske rekker
Hva er ei aritmetisk rekke?
Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge sammen leddene i en følge. Dersom vi legger sammen leddene i en aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.
Et eksempel på ei slik rekke er
Vi ser at differansen mellom et ledd og det foregående leddet er 3.
Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer i en aritmetisk tallfølge ved formelen
Denne formelen gjelder på samme måte for ledd nummer i ei aritmetisk rekke.
Summen av ei endelig aritmetisk rekke
Vi har sett hvordan vi kan regne ut summer av rekker ved hjelp av digitale hjelpemidler dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for . For noen typer av rekker finnes det kjente formler også for summen av de
Vi ønsker å finne en formel for summen av de
Vi skriver summen av de 5 første leddene på to måter: først leddene i stigende rekkefølge, så leddene i synkende rekkefølge.
Vi summerer venstresidene og høyresidene og får
I parentesene på høyresiden vil de blå leddene til venstre i hver parentes øke med
Høyresiden blir da lik
Ved å dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet får vi
Resonnementet over gjelder også om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Den generelle utledningen skal du gjøre i en oppgave.
Summen av de
Hva er ei geometrisk rekke?
Tilsvarende som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere leddene i en geometrisk følge. Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer
Denne formelen gjelder også for ledd nummer
Vi ser at
Summen av ei endelig geometrisk rekke
Også for geometriske rekker kan vi finne en formel for summen av de
Vi har at
Vi multipliserer begge sidene i likningen med
Vi finner så differansen mellom
Her opptrer de fleste leddene i par der vi har ledd med samme verdi, men motsatt fortegn. Det gjør at de faller bort. Dette gir
Vi kan ikke ha en brøk med null i nevneren. Derfor gjelder formelen bare når
Resonnementet over gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Vi får derfor formelen under.
Summen av de
Når
Denne generelle formelen skal du utlede i en oppgave.
Regneeksempel
Vi skal se på et eksempel der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der
For å finne
Så setter vi inn i formelen for
For å kunne finne ut om et tall er et ledd i ei rekke (eller en følge), kan vi sette den eksplisitte formelen for
På samme måte må vi finne en heltallig
Tenk gjennom hvorfor vi må ha hele
Forklaring
I ei rekke har hvert ledd et nummer. Vi kan ikke ha ledd nummer 1,5 eller ledd nummer 7,1. Det kan bare være hele tall!
Vi setter
Vi ser at vi får en heltallig
Vi sjekker om det finnes en
Vi løser likningen i GeoGebra:
![Likningsløsning fra CAS i GeoGebra. Likningen er 990 er lik 7 multiplisert med n i andre pluss 3 n. Løsningen er gitt som to ikke-rasjonale tall. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/MVuKvY2F.png?width=1024)
Vi ser at vi ikke får hele tall som løsninger, og dermed kan vi slå fast at vi ikke har en slik