Sparing

Det siste beløpet Mads setter inn, er $$ a_1$$, og like etter at det er satt inn, har det ikke rukket å forrente seg i det hele tatt. Det betyr at vi får at $$ a_1=20 000$$ og $$ k=1,04$$.

En eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 20 000·1,{04}^{n-1}\end{array}$$

$$ S_8$$ gir oss beløpet

$$ S_8=20 000·\frac{1,{04}^8-1}{1,04-1}=184 285$$

(Du kan selvsagt også finne denne summen i GeoGebra hvis du ønsker det.)

Mads har 184 285 kroner på kontoen like etter at han har satt inn det 8. beløpet.

Det siste beløpet Mads setter inn, er også her $$ a_1$$, men nå har det fått forrente seg i et år. Det betyr at vi får at $$ a_1=20 000·1,04$$. Vi har fortsatt at $$ k=1,04$$.

En eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 20 000·1,04·1,{04}^{n-1}\\ & =& 20 000·1,{04}^n\end{array}$$

$$ S_8$$ gir oss beløpet

$$ S_8=20 000·1,04·\frac{1,{04}^8-1}{1,04-1}=191 656$$

Det står 191 656 kroner på kontoen ett år etter at Mads setter inn det 8. beløpet.

Vi kan bruke rekka fra b) til å finne ut hvor mye som står på kontoen like før Mads setter inn det 8. beløpet, og så kan vi legge til de 20 000 han setter inn. Det betyr at vi må finne $$ S_7$$:

$$ S_7 = 164 285$$

$$ S_7 + 20 000 = 184 285$$

Vi velger rekka som angir summen like etter at et innskudd er gjort, og setter dette lik 215 000:

Vi ser at beløpet vil passere 215 000 kroner en gang etter at det 9. beløpet er satt inn. Vi sjekker hva som skjer når rentene blir lagt til i slutten av året, altså hvor mye som står på kontoen like før det neste beløpet blir lagt til:

Vi ser at beløpet passerer 215 000 kroner en gang i løpet av det 9. året. For å finne ut nøyaktig når Mads kan ta ut pengene sine, må vi ta utgangspunkt i beløpet som sto på kontoen like etter at det 9. beløpet blir satt inn. Vi bruker det vi fant vi i b), og legger til 20 000 kroner:

$$ 191 656 +20 000=211 656$$

Dette gir følgende likning:

$$ \begin{array}{rcl}211 656·1,{04}^x & =& 215 000\\ x & =& 0,4\end{array}$$

Dette betyr at Mads kan ta pengene ut etter at 40 prosent av det 10. året har gått, det vil si etter omtrent 5 måneder.

1innskudd = 20000
2vekstfaktor = 1.04
3Kontoetter = ["Beløp etter innskudd",innskudd]
4Kontofoer = ["Beløp før innskudd",0]
5år = ["år",0]
6
7def konto(x):
8    return innskudd*vekstfaktor**(x-1)
9
10for i in range (2,16):
11    Kontoetter.append(Kontoetter[i-1]+konto(i))
12    Kontofoer.append(Kontoetter[i]-innskudd)
13    år.append(i-1)
14
15print(f"{år[0]:<5}{Kontofoer[0]:<20}{Kontoetter[0]:<20}")   
16
17for i in range(1,len(år)):
18    print(f"{år[i]:<5}{Kontofoer[i]:18.0f}{Kontoetter[i]:22.0f}")

Forklaring til programmet:

I de to første linjene definerer vi størrelsen på innskuddet og vekstfaktoren.

I linje 3–5 oppretter vi lister for beløpet på kontoen før og etter innskudd og antall år. Legg merke til at det første året er år 0, siden det er da Mads begynner sparingen.

I linje 7 og 8 definerer vi funksjonen for leddene i rekka. Legg merke til at vi her har valgt den rekka som regner ut beløpet på kontoen like etter at Mads har gjort et innskudd.

I linje 10–13 har vi ei for-løkke som legger til summene i listene.

I linje 15 skriver vi ut overskriftene med en gitt kolonnebredde.

I linje 17 og 18 skriver vi ut tallene uten desimaler.

Med ei månedlig rente på 0,25 prosent er vekstfaktoren $$ k=1,0025$$. Vi skal sjekke hvor mye som står på kontoen når det siste beløpet som er satt inn, har fått forrente seg en måned. Det betyr at $$ a_1=200·1,0025$$. En eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 200·1,0025·1,{0025}^{n-1}\\ & =& 200·1,{0025}^n\end{array}$$

Torbjørn fyller 18 år 1. januar 2023, og på dette tidspunktet har bestemoren satt inn penger $$ 18·12=216$$ ganger.

Vi finner summen av de 216 første leddene i rekka:

Det står omtrent 57 300 kroner på kontoen på Torbjørns 18-årsdag.

Her må vi regne ut tre forskjellige beløp.

Det ene er summen av rekka med penger fra bestemor, som fortsetter å komme jevnt og trutt hver 1. januar. Denne summen kan vi finne ved hjelp av den samme rekka som i a) og så legge på de 200 kronene som kommer inn på 23-årsdagen hans. Vi må først finne ut hvor mange ledd det blir i rekka:

$$ n=23·12=276$$

Så finner vi resultatet av bestemors jevne sparing:

I tillegg har vi de 10 000 kronene som han fikk av bestemoren i 18-årsdagsgave. Disse pengene står stille og forrenter seg i 5 år:

$$ 10 000 \mathrm{kr} ·1,{03}^5 =11 593 \mathrm{kr}$$

Til slutt må vi regne ut hvor stort beløp som kommer ut av Torbjørns egen sparing. Han setter inn de første 5 000 kronene 1. januar 2023 og de siste 1. januar 2028. Dette blir 6 beløp, hvorav det siste ikke har rukket å forrente seg.

Det innebærer at vi kan bruke ei geometrisk rekke med $$ a_1=5 000$$ og $$ k=1,03$$ for å finne dette beløpet:

Til slutt legger vi sammen de tre beløpene:

$$ 32 342 \mathrm{kr} + 11 593 \mathrm{kr} + 79 758 \mathrm{kr} =123 693 \mathrm{kr}$$

Dagen etter at Torbjørn har fylt 23 år, står det cirka 123 693 kroner på kontoen hans.