Lineær regresjon
3.2.80
Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.
År | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 |
---|---|---|---|---|---|---|
Folkemengde | 3 249 954 | 3 567 707 | 3 863 221 | 4 078 900 | 4 233 116 | 4 478 497 |
a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La være antall år etter 1950 og folkemengden i millioner.
vis fasit
Jeg valgte «Regneark». La punktene fra tabellen nedenfor inn i kolonne A og B.
x | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 3,2 | 3,6 | 3,9 | 4,1 | 4,2 | 4,5 |
Merk et området A1:B6. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser».
Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær»
![Lineær regresjon i GeoGebra. Skjermbilde.](https://api.ndla.no/image-api/raw/skjermbilde_2018-09-13_kl._08.28.44.png?width=1024)
Funksjonen kan beskrives med uttrykket
Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet»
![Graf over folketall. Bilde.](https://api.ndla.no/image-api/raw/folketall_i_millioner_0.png?width=1024)
b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i a)?
vis fasit
Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,024. Økningen i folkemengde per år er 0,024 millioner altså 24 000 individer.
c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?
vis fasit
Variabelen x er antall år etter 1950. Vi setter da lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 2050.
Folkemengden i Norge vil være 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.
3.2.81
Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 2000.
År | 1973 | 1980 | 1987 | 1992 | 1996 | 2000 |
---|---|---|---|---|---|---|
Utslipp til luft | 156,4 | 136,4 | 73,1 | 37,0 | 33,1 | 27,3 |
a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp.
La x være antall år etter 1973 og utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.
vis fasit
![Lineær regresjon. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/lineaer_regresjon_4.220.png?width=1024)
Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket
b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn?
vis fasit
Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen og grafen til funksjonen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Jeg finner at utslippet av er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.
c) Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret.
vis fasit
Utslipp i år 2010:
![S av 37 er lik minus 41 komma 43. CASutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/skjermbilde_2018-10-09_kl._08.13.27.png?width=1024)
Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Modell en passer dårlig etter 1996.
3.2.82
Årstall | 1998 | 2000 | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 |
---|---|---|---|---|---|---|
Prisindeks for frukt, F | 100 | 105 | 103 | 106 | 110 | 107 |
Prisindeks for tobakk, T | 100 | 118 | 124 | 154 | 162 | 175 |
Prisindeks for sko etc. S | 100 | 104 | 99 | 88 | 83 | 84 |
Tabellen viser utviklingen i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.
Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng som viser prisutviklingen for hver av varene i tabellen ovenfor. La være antall år fra 1998, prisutviklingen på frukt, prisutviklingen for tobakk og prisutviklingen for sko og annet fottøy.
vis fasit
Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket .
Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket .
Sko og annet fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket .
Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SABruk modellene du fant i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og annet fottøy i 2005.
vis fasit
Prisindeks i 2005 for frukt er
Prisindeks i 2005 for tobakk er
Prisindeks i 2005 for sko og annet er
Hvordan synes du modellene dine stemmer med punktene?
vis fasit
Modellene stemmer ganske bra med de observerte verdiene.
3.2.83
Tabellen viser prisutviklingen for varegruppen klær i perioden 1997 til 2004.
År | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2003 | 2005 | 2008 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prisindeks | 102,5 | 100 | 99,0 | 93,5 | 93,2 | 77,1 | 68,1 | 58,5 |
Bruk tabellen og et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og prisutviklingen på klær.
La være antall år fra 1990 og prisutviklingen på klær.vis fasit
Jeg bruker GeoGebra og finner den lineære modellen
Hva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?
vis fasit
Prisindeks i 2007 er
Prisindeks i 1990 er
Tabellen ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrå (SSB). Ifølge SSB var prisindeksen for varegruppen klær i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Hvordan stemmer denne indeksen med indeksen du fikk ved å bruke modellen?
vis fasit
Modellen bygger på de observerte verdiene i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen en prisindeks på 62,8, mens den i virkeligheten var 61,6. Vi kan dermed si at modellen treffer meget bra når det gjelder 2007.
I perioden fra 1997 til 2008 falt prisen på klær. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klær falt fra 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil være den høyeste i hele perioden 1990 – 2008.
Når den virkelige prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at vår modell treffer dårlig. Prisutviklingen på klær følger ikke vår modell i perioden 1990 til 1997. Fra 1990 fram til 1997 har det faktisk vært en økning i prisindeksen.