Blanding av betong der vi tilsetter tilslag selv

Se det nedlastbare regnearket nedenfor.

20 kg sement er halvparten av det som er i den opprinnelige oppskriften. Derfor trenger vi halvparten så mye vann som i oppskriften, det vil si 10 kg.

Du har altså kjøpt $2·25 \mathrm{kg}=50 \mathrm{kg}$sement.

Forholdet mellom sementmengden i denne oppgaven og sementmengden i oppskriften er

$\frac{50 \mathrm{kg}}{40 \mathrm{kg}}=1,25$

Siden vi bruker samme oppskrift, vil det være det samme forholdet mellom alle mengder i blandingen i denne oppgaven og tilsvarende mengde i oppskriften. Dette gjelder enten vi måler i kg eller L.

Vannmengden vi trenger blir derfor $20 \mathrm{kg}·1,25=25 \mathrm{kg}$.

Mengden tilslag blir $90 \mathrm{kg}·1,25 = 112,5 \mathrm{kg}$.

Volumet av ferdig betong blir $100 \mathrm{L}·1,25=125 \mathrm{L}$.

Alternativ framgangsmåte (litt mer tungvint):

Forholdet mellom vekten av vann og vekten av sement i oppskriften er $\frac{20 \mathrm{kg}}{40 \mathrm{kg}}=0,5$.

Vannet vi trenger veier da $50 \mathrm{kg}·0,5=25 \mathrm{kg}$.

(Alternativt kan vi se kjapt at vi skal bruke halvparten så mye vann som sement. Altså tar vi 50 kg og deler på 2.)

Forholdet mellom mengde tilslag og mengde sement i oppskriften er $\frac{180 \mathrm{kg}}{40 \mathrm{kg}}=4,5$.

Det er altså 4,5 ganger så mange kg tilslag som sement. Tilslaget vi trenger veier da $50 \mathrm{kg}·4,5=225 \mathrm{kg}$.

Den ferdige betongen vil veie

$50 \mathrm{kg}+25 \mathrm{kg}+225 \mathrm{kg}=300 \mathrm{kg}$

Fra oppskriften har vi at 100 L betong veier 40 kg + 20 kg + 180 kg = 240 kg. Det betyr at 1 kg betong har volumet

$\frac{100 \mathrm{L}}{240 \mathrm{kg}}=0,417 \mathrm{L}/\mathrm{kg}$

300 kg betong har da volumet $300 \mathrm{kg}·0,417 \mathrm{L}/\mathrm{kg}=125 \mathrm{L}$.

Siden vi bare har 60 kg av sanden, er det den som er den begrensende faktoren. Mengden tilslag blir derfor 60 kg + 60 kg = 120 kg.

Forholdet mellom sandmengden i denne oppgaven og sandmengden i oppskriften er

$\frac{60 \mathrm{kg}}{90 \mathrm{kg}}=\frac{2}{3}=0,67$

Som i den forrige oppgaven vil det være det samme forholdet mellom alle mengder i blandingen i denne oppgaven og tilsvarende mengde i oppskriften.

Vannmengden vi trenger blir derfor $20 \mathrm{kg}·\frac{2}{3}=13,3 \mathrm{kg}$.

Mengden sement blir $40 \mathrm{kg}·\frac{2}{3}=26,7 \mathrm{kg}$.

Volumet av ferdig betong blir $100 \mathrm{L}·\frac{2}{3}=67 \mathrm{L}$.

v/c-tallet er $\frac{20 \mathrm{kg}}{40 \mathrm{kg}}=0,5$.

I oppskriften er det 20 kg vann og 40 kg sement. Det betyr at blandingsforholdet mellom vann og sement er

20 : 40

Vi kan skrive dette blandingsforholdet enklere siden det finnes tall som både 20 og 40 kan deles med. Det største tallet som begge kan deles med, er 20. Da blir forholdet mellom vann og sement

1 : 2

I oppskriften er det 20 kg vann, 40 kg sement og 180 kg tilslag. Det betyr at blandingsforholdet mellom vann, sement og tilslag er

20 : 40 : 180

Her kan vi dele alle tallene på 10 og få samme blandingsforhold. Da får vi

2 : 4 : 18

Dette kan igjen deles på to. Vi får

1 : 2 : 9

Vi regner først ut forholdstallet mellom antall liter betong i denne oppgaven og antall liter betong i oppskriften.

$\frac{280 \mathrm{L}}{100 \mathrm{L}}=2,8$

Antall kg sement blir $40 \mathrm{kg}·2,8=112 \mathrm{kg}$.

Antall liter vann blir $20 \mathrm{L}·2,8=56 \mathrm{L}$.

Antall kg tilslag blir $180 \mathrm{kg}·2,8=504 \mathrm{kg}$.

Først skal vi tilsette 3/4 av vannet. Det blir

$56 \mathrm{L}·\frac{3}{4}=42 \mathrm{L}$

Så skal vi tilsette halvparten av steinen. Hvis steinen er halvparten av tilslaget, må vi ta vekten av tilslaget og dele på 2 to ganger, eller dele på 4.

$\frac{504 \mathrm{kg}}{4}=126 \mathrm{kg}$

Deretter tilsetter vi all sementen, det vil si 112 kg sement.

Vekten av sand er $504 \mathrm{kg}:2=252 \mathrm{kg}$. Vannmengden som er igjen, er $56 \mathrm{L}-42 \mathrm{L}=14 \mathrm{L}$.

Framgangsmåten blir som følger:

1. Tilsett 42 L vann.
2. Tilsett 126 kg stein.
3. Tilsett 112 kg sement.
4. Tilsett 126 kg stein og 252 kg sand.
5. Spe med 14 L vann.

Fundamentet er en kloss (eller et rektangulært prisme) med bredde 0,5 m, lengde 0,75 m og ukjent høyde. Vi vet volumet av klossen, som er 280 L.

Vi finner volumet av et rektangulært prisme ved å multiplisere lengde, bredde og høyde. Det må samtidig bety at hvis vi tar utgangspunkt i svaret, volumet, kan vi regne oss tilbake til høyden ved å regne motsatt, det vil si dividere volumet med lengde og bredde, men vi må sørge for å ha samsvarende enheter på tallene.

$280 \mathrm{L}=280 {\mathrm{dm}}^3$

Da er det praktisk å gjøre om lengden og bredden til desimeter.

$0,5 \mathrm{m}=5 \mathrm{dm}, 0,75 \mathrm{m}=7,5 \mathrm{dm}$

Høyden på fundamentet blir

$\frac{280 {\mathrm{dm}}^3}{5 \mathrm{dm}·7,5 \mathrm{dm}}=7,5 \mathrm{dm}=75 \mathrm{cm}$

Alternativ løsningsmetode med likning

Vi tar utgangspunkt i formelen $V=l·b·h$ for volumet av et prisme, setter inn tallene for volumet, lengden og bredden, setter den ukjente høyden lik $x$ og løser en likning. Som i løsningsmetoden over, må vi huske å gjøre om lengden og bredden til desimeter.

$\begin{array}{rcl} V& = & l·b·h \\ & & \\ 280& =& 5·7,5·h\\ & & \\ 280& =& 37,5h\\ & & \\ \frac{280}{37,5}& =& \frac{\cancel{37,5}h}{\cancel{37,5}}\\ & & \\ 7,47& =& h\end{array}$

Høyden på fundamentet blir 75 cm.

Her må vi først regne ut hvor mange liter betong vi trenger. Da er det gunstig å gjøre om målene på figuren til desimeter (dm). Skal vi gjøre om mm til dm, må dele på 100, som vil si at vi flytter kommaet to hakk mot venstre.

Lengden blir 40 dm, bredden blir 20 dm og tykkelsen på veggen blir 2 dm. Høyden på veggene blir $2,5 \mathrm{m}=25 \mathrm{dm}$.

Én måte å regne ut volumet på er først å regne ut det utvendige volumet av lagerskuret og trekke fra det innvendige volumet. Det innvendige volumet har lengden

$40 \mathrm{dm}-2·2 \mathrm{dm}=40 \mathrm{dm}-4 \mathrm{dm}=36 \mathrm{dm}$

og bredden

$20 \mathrm{dm}-2·2 \mathrm{dm}=20 \mathrm{dm}-4 \mathrm{dm}=16 \mathrm{dm}$

Høyden er den samme.

Volumet av veggene før vi har trukket fra dør og vindu blir da

$$ \begin{array}{rcl}& & 40 \mathrm{dm}·20 \mathrm{dm}·25 \mathrm{dm}\\ & & \\ & & -36 \mathrm{dm}·16 \mathrm{dm}·25 \mathrm{dm}\\ & & \\ & =& 5 600 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$$

Så må vi regne ut volumet av dør- og vindusåpningen. Målt i desimeter har døråpningen målene 21 x 10 og vindusåpningen 7 x 11.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Volum} \mathrm{av} \mathrm{dør} \mathrm{og} \mathrm{vegg}& = & 21 \mathrm{dm}·10 \mathrm{dm}·2 \mathrm{dm}\\ & & \\ & & + 7 \mathrm{dm}·11 \mathrm{dm}·2 \mathrm{dm}\\ & & \\ & =& 574 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Volumet av betong du trenger er

$5 600 \mathrm{L}-574 \mathrm{L}=5 026 \mathrm{L}$

Til slutt gjør vi som i oppgave a) for å finne ut hvor mye vi trenger av ingrediensene. Vi regner først ut forholdstallet mellom antall liter betong i denne oppgaven og antall liter betong i oppskriften.

$\frac{5 026 \mathrm{L}}{100 \mathrm{L}}=50,26$

Antall kg sement blir $40 \mathrm{kg}·50,26=2 010 \mathrm{kg}$.

Antall liter vann blir $20 \mathrm{L}·50,26=1 005 \mathrm{L}$.

Antall kg tilslag blir $180 \mathrm{kg}·50,26=9 047 \mathrm{kg}$.

Dette er omtrent den samme typen oppgave som 2 c). Vi vet det totale volumet (3,5 kubikkmeter) og to av lengdemålene og skal finne det tredje lengdemålet, som her er det vi kan kalle lengden l. En grunnmur med en bestemt lengde er også en "kloss" eller et prisme, så den samme volumformelen gjelder.

Vi løser oppgaven med likning. Her er det kanskje best å ha alle mål i meter, som betyr at vi trenger bare å gjøre om tykkelsen på 30 cm til 0,3 m. Tykkelsen kan være bredden b i formelen.

$\begin{array}{rcl} V& = & l·b·h \\ & & \\ 3,5& =& l·0,3·2,5\\ & & \\ 3,5& =& 0,75l\\ & & \\ \frac{3,5}{0,75}& =& \frac{\cancel{0,75}l}{\cancel{0,75}}\\ & & \\ 4,67& =& l\end{array}$

Med én betongbil får vi støpt cirka 4,7 m grunnmur med høyde 2,5 og tykkelse 30 cm.

Vi bruker svaret fra forrige oppgave som utgangspunkt. Da trenger vi å vite den totale lengden av grunnmuren. Hvis vi bruker yttermålene til å regne ut den totale lengden av grunnmuren, får vi 30 cm for mye ved hvert av de fire hjørnene (se figuren i oppgave d)). Disse må vi trekke fra. Den totale lengden av grunnmuren blir

$2·28,5 \mathrm{m}+2·16,8 \mathrm{m}-4·0,3 \mathrm{m}=89,4 \mathrm{m}$

Hver betongbil dekker 4,67 m grunnmur. Antallet betongbiler vi trenger, finner vi ved å dividere.

$\frac{89,4 \mathrm{m}}{4,67 \mathrm{m}}=19,1$

Vi trenger 20 betongbiler for å få nok betong til grunnmuren til én blokk.

Den ferdige betongen vil veie

$100 \mathrm{kg}+60 \mathrm{kg}+200 \mathrm{kg} = 360 \mathrm{kg}$

v/c-tallet er $\frac{60 \mathrm{kg}}{100 \mathrm{kg}}=0,6$.

Vi kan sjekke om oppskriftene er de samme (bortsett fra mengden ferdig betong) ved å se på v/c-tallet. Det er større for denne betongen enn betongen i de forrige oppgavene. Se oppgave 1 e).

Alternativt kan vi se på forholdet mellom mengdene. Vi starter med sementmengdene.

$\frac{100 \mathrm{kg}}{40 \mathrm{kg}}=2,5$

Så tar vi vannet.

$\frac{60 \mathrm{L}}{20 \mathrm{L}}=3$

Forholdstallene ble ikke like. Det betyr at det ikke er samme blandingsforhold i denne oppskriften som i den i oppgave 2. Det er mer vann i forhold til sement i denne oppskriften, noe som v/c-tallet også viser.

Vi ser til slutt på tilslaget.

$\frac{200 \mathrm{kg}}{180 \mathrm{kg}}=1,1$

Det betyr at det er mye mindre tilslag i denne oppskriften enn i den andre siden forholdstallet er mye mindre for tilslaget enn for vannet og for sementen.

Betongen i oppgave 1 og 2 vil sannsynligvis være sterkere siden den har lavere v/c-tall.

Vi gjør som i oppgave 2 a) for å finne ut hvor mye vi trenger av ingrediensene. Vi regner først ut forholdstallet mellom antall kg betong i denne oppgaven (75 kg) og antall kg betong i oppskriften (360 kg).

$\frac{75 \mathrm{kg}}{100 \mathrm{kg}}=0,75$

Antall kg vann blir $60 \mathrm{L}·0,75=45 \mathrm{L}$.

Antall kg tilslag blir $200 \mathrm{kg}·0,75=150 \mathrm{kg}$.

Du kan laste ned et regneark som viser diagrammene for de to betongoppskriftene nedenfor. Hvis vi sammenligner diagrammet med diagrammet for oppskriften i oppgave 2 og 3, ser vi at det er mye mer sement og vann i den nye oppskriften og mindre tilslag. Dette stemmer med det vi regnet ut i oppgave c).