Sinus og cosinus til vinkler

Vi ser på de formlike trekantene $△ABC$ og $△DBE$ slik som i artikkelen der vi ser på tangens.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

På grunn av formlikhet kan vi sette opp at $\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BE}$

Forholdet mellom motstående katet til $\angle B$ og hypotenusen blir også en konstant størrelse.

Dette konstante forholdet identifiserer også $\angle B$ entydig, og vi gir derfor også dette forholdstallet et navn. Vi kaller det sinusverdien til $\angle B$.

På grunn av formlikhet får vi også at $\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$

Forholdet mellom hosliggende katet til $\angle B$ og hypotenusen blir også en konstant størrelse.

Dette konstante forholdet identifiserer også $\angle B$ entydig, og vi gir derfor også dette forholdstallet et navn. Vi kaller det cosinusverdien til $\angle B$.

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel $v$ er

$\sin v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{a}$

$\cos v=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}=\frac{c}{a}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne de ukjente sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle B=28°$og hypotenusen er 15,6.

Løsning

Vi har oppgitt hypotenusen og den ene vinkelen. Da kan vi finne den motstående kateten til vinkelen med sinus og den hosliggende kateten med cosinus.

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \cos B& =& \frac{AB}{BC}\end{array}$ $\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(28°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{15.6}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=7.3\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(28°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{15.6}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=13.8\}\end{array}}$

Vi skal nå finne de ukjente sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle B=22°$og siden AC er 5,2.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Løsning

Vi har oppgitt den ene spisse vinkelen og den motstående kateten til vinkelen. Da kan vi finne hypotenusen med sinus og den hosliggende kateten med tangens.

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{AB}\end{array}$ $\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(22°\right)=\frac{5.2}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=13.9\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(22°\right)=\frac{5.2}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=12.9\}\end{array}}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne de ukjente sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle C=58°$ og siden AC er 17,3.

Løsning

Vi har oppgitt den ene spisse vinkelen og den hosliggende kateten til vinkelen. Da kan vi finne hypotenusen med cosinus og den motstående kateten med tangens.

$\begin{array}{rcl}\cos C& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{AC}\end{array}$ $\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(58°\right)=\frac{17.3}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=32.6\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(58°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{17.3}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=27.7\}\end{array}}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne den ukjente vinkelen v og siden c i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, siden AC er 17,3 og siden BC er 34,2.

Løsning

I forhold til den vinkelen vi skal finne, har vi oppgitt den hosliggende kateten og hypotenusen. Da kan vi bruke cosinus, som gir oss

$\cos v=\frac{AC}{BC}=\frac{17.3}{34.2}$

Vi kan løse dette som en likning, eller vi kan bruke den "inverse" eller "motsatte" cosinusfunksjonen. I GeoGebra har denne funksjonen navnet "acosd" når vi skal ha vinkelen i grader.

Alternativ 1. Løsning ved å løse likning

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{17.3}{34.2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{v}=-59.6, \mathrm{v}=59.6\}\end{array}}$

Vi må se bort fra den negative løsningen.

Alternativ 2. Løsning med invers cosinus

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{acos}\left(\frac{17.3}{34.2}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 59.6°\end{array}}$

Nå som vi kjenner en vinkel, kan vi bruke en trigonometrisk funksjon til å finne den ukjente siden $c=AB$. Men det går like greit å bruke Pytagoras' læresetning, og da bruker vi kun tall som er oppgitt i oppgaven.

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AB}}^2+17.3^2=34.2^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=-29.5, \mathrm{AB}=29.5\}\end{array}}$

Vi får altså at

$v=59,6° \mathrm{og} c=AB=29,5$